Google
Câu hỏi: Trong không gian $Oxyz$, cho điểm $M(3 ; 0 ; 5)$ và mặt cầu $(S):(x-1)^2+(y+2)^2+(z-4)^2=81$. Xét các điểm $A,B,C$ di động trên $(S)$ sao cho $MA,MB,MC$ đôi một vuông góc và gọi $E$ là đỉnh đối diện với đỉnh $M$ của hình hộp chữ nhật có ba cạnh $MA,MB,MC$. Khoảng cách từ điểm $E$ đến măt phẳng $(O x y)$ có giá trị lơn nhất bằng
A. 21.
B. 15.
C. 17.
D. 19.
A. 21.
B. 15.
C. 17.
D. 19.
Mặt cầu $(S)$ có tâm $I(1 ;-2 ; 4), R=9$ và $I M-3 ; I A=I B=I C=R-9$.
Ta cần tìm quỹ tích điểm $E$.
Áp dụng tính chất hình hộp ta có
$\overrightarrow{ME}=\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MB}+\overrightarrow{MC}\Leftrightarrow \overrightarrow{IE}-\overrightarrow{IM}=\overrightarrow{IA}-\overrightarrow{IM}+\overrightarrow{IB}-\overrightarrow{IM}+\overrightarrow{IC}-\overrightarrow{IM}$
$\Leftrightarrow \overrightarrow{IE}+2\overrightarrow{IM}=\overrightarrow{IA}+\overrightarrow{IB}+\overrightarrow{IC}$.
$\Rightarrow {{\left( \overrightarrow{IE}+2\overrightarrow{IM} \right)}^{2}}={{\left( \overrightarrow{IA}+\overrightarrow{IB}+\overrightarrow{IC} \right)}^{2}}$
$\Leftrightarrow I{{E}^{2}}+4I{{M}^{2}}+4\overrightarrow{IE}\cdot \overrightarrow{IM}=3{{R}^{2}}+2(\overrightarrow{IA}\cdot \overrightarrow{IB}+\overrightarrow{IB}.\overrightarrow{IC}+\overrightarrow{IC}\cdot \overrightarrow{IA})$.
$\begin{aligned}
& \Leftrightarrow I{{E}^{2}}+4I{{M}^{2}}+2\left( I{{E}^{2}}+I{{M}^{2}}-E{{M}^{2}} \right)=3{{R}^{2}}+\left( I{{A}^{2}}+I{{B}^{2}}-A{{B}^{2}} \right)+\left( I{{B}^{2}}+I{{C}^{2}}-B{{C}^{2}} \right) \\
& \text{ }+\left( I{{C}^{2}}+I{{A}^{2}}-C{{A}^{2}} \right) \\
\end{aligned}$
$\begin{aligned}
& \Leftrightarrow 3I{{E}^{2}}+6I{{M}^{2}}-2E{{M}^{2}}=9{{R}^{2}}-\left( A{{B}^{2}}+B{{C}^{2}}+C{{A}^{2}} \right) \\
& \Leftrightarrow I{{E}^{2}}+2I{{M}^{2}}=3{{R}^{2}}+\dfrac{1}{3}\left[ 2E{{M}^{2}}-\left( A{{B}^{2}}+B{{C}^{2}}+C{{A}^{2}} \right) \right] \\
\end{aligned}$
Vì $M{{E}^{2}}=M{{A}^{2}}+M{{B}^{2}}+M{{C}^{2}}$ và $A{{B}^{2}}+B{{C}^{2}}+C{{A}^{2}}=2\left( M{{A}^{2}}+M{{B}^{2}}+M{{C}^{2}} \right)I{{E}^{2}}+2I{{M}^{2}}=3{{R}^{2}}$
nên $IE=\sqrt{3{{R}^{2}}-2I{{M}^{2}}}=\sqrt{3.81-2.9}=15$.
Áp dụng tính chất hình hộp ta có
$\overrightarrow{ME}=\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MB}+\overrightarrow{MC}\Leftrightarrow \overrightarrow{IE}-\overrightarrow{IM}=\overrightarrow{IA}-\overrightarrow{IM}+\overrightarrow{IB}-\overrightarrow{IM}+\overrightarrow{IC}-\overrightarrow{IM}$
$\Leftrightarrow \overrightarrow{IE}+2\overrightarrow{IM}=\overrightarrow{IA}+\overrightarrow{IB}+\overrightarrow{IC}$.
$\Rightarrow {{\left( \overrightarrow{IE}+2\overrightarrow{IM} \right)}^{2}}={{\left( \overrightarrow{IA}+\overrightarrow{IB}+\overrightarrow{IC} \right)}^{2}}$
$\Leftrightarrow I{{E}^{2}}+4I{{M}^{2}}+4\overrightarrow{IE}\cdot \overrightarrow{IM}=3{{R}^{2}}+2(\overrightarrow{IA}\cdot \overrightarrow{IB}+\overrightarrow{IB}.\overrightarrow{IC}+\overrightarrow{IC}\cdot \overrightarrow{IA})$.
$\begin{aligned}
& \Leftrightarrow I{{E}^{2}}+4I{{M}^{2}}+2\left( I{{E}^{2}}+I{{M}^{2}}-E{{M}^{2}} \right)=3{{R}^{2}}+\left( I{{A}^{2}}+I{{B}^{2}}-A{{B}^{2}} \right)+\left( I{{B}^{2}}+I{{C}^{2}}-B{{C}^{2}} \right) \\
& \text{ }+\left( I{{C}^{2}}+I{{A}^{2}}-C{{A}^{2}} \right) \\
\end{aligned}$
$\begin{aligned}
& \Leftrightarrow 3I{{E}^{2}}+6I{{M}^{2}}-2E{{M}^{2}}=9{{R}^{2}}-\left( A{{B}^{2}}+B{{C}^{2}}+C{{A}^{2}} \right) \\
& \Leftrightarrow I{{E}^{2}}+2I{{M}^{2}}=3{{R}^{2}}+\dfrac{1}{3}\left[ 2E{{M}^{2}}-\left( A{{B}^{2}}+B{{C}^{2}}+C{{A}^{2}} \right) \right] \\
\end{aligned}$
Vì $M{{E}^{2}}=M{{A}^{2}}+M{{B}^{2}}+M{{C}^{2}}$ và $A{{B}^{2}}+B{{C}^{2}}+C{{A}^{2}}=2\left( M{{A}^{2}}+M{{B}^{2}}+M{{C}^{2}} \right)I{{E}^{2}}+2I{{M}^{2}}=3{{R}^{2}}$
nên $IE=\sqrt{3{{R}^{2}}-2I{{M}^{2}}}=\sqrt{3.81-2.9}=15$.
Đáp án D.
