Google
Câu hỏi: Trong không gian Oxyz, cho điểm $M(0;2;0)$ và hai đường thẳng ${{d}_{1}}:\left\{ \begin{aligned}
& x=1+2t \\
& y=2-2t \\
& z=-1+t \\
\end{aligned} \right. $ và $ {{d}_{2}}:\left\{ \begin{aligned}
& x=3+2u \\
& y=-1-2u \\
& z=u \\
\end{aligned} \right. $. Tồn tại bao nhiêu mặt phẳng (P) đi qua M song song với trục Ox, đồng thời (P) cắt d1, d2 lần lượt tại A và B thỏa mãn $ AB=1$
A. 0
B. 2
C. vô số
D. 1
& x=1+2t \\
& y=2-2t \\
& z=-1+t \\
\end{aligned} \right. $ và $ {{d}_{2}}:\left\{ \begin{aligned}
& x=3+2u \\
& y=-1-2u \\
& z=u \\
\end{aligned} \right. $. Tồn tại bao nhiêu mặt phẳng (P) đi qua M song song với trục Ox, đồng thời (P) cắt d1, d2 lần lượt tại A và B thỏa mãn $ AB=1$
A. 0
B. 2
C. vô số
D. 1
Gọi $A(1+2a;2-2a;-1+a),B(3+2b;-1-2b;b)$ ta có:
$\overrightarrow{AB}(2+2(b-a);-3-2(b-a);1+(b-a))$, đặt $p=b-a$
Do $AB=1\Leftrightarrow {{(2+2p)}^{2}}+{{(-3-2p)}^{2}}+{{(1+p)}^{2}}=1\Leftrightarrow 9{{p}^{2}}+22p+13=0\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& p=-1 \\
& p=\dfrac{-13}{9} \\
\end{aligned} \right.$
+ Với $p=-1\Rightarrow \overrightarrow{{{u}_{AB}}}(0;-1;0)\Rightarrow \overrightarrow{{{n}_{(P)}}}=\left[ \overrightarrow{{{u}_{AB}}};\overrightarrow{i} \right]=(0;0;1)\Rightarrow (P):z=0$
Khi đó (P) chứa trục Oz nên loại trường hợp này
+) Với $p=\dfrac{-13}{9}$ ta được $\overrightarrow{AB}=\left( -\dfrac{8}{9};-\dfrac{1}{9};\dfrac{-4}{9} \right)=\dfrac{-1}{9}(8;1;4)$
$\Rightarrow \overrightarrow{{{n}_{\left( P \right)}}}(0;-4;1)=\left[ \overrightarrow{AB};\overrightarrow{i} \right]\Rightarrow (P):4y-z-8=0$
Vậy có duy nhất một mặt phẳng (P) thỏa mãn yêu cầu bài toán. Chọn D.
$\overrightarrow{AB}(2+2(b-a);-3-2(b-a);1+(b-a))$, đặt $p=b-a$
Do $AB=1\Leftrightarrow {{(2+2p)}^{2}}+{{(-3-2p)}^{2}}+{{(1+p)}^{2}}=1\Leftrightarrow 9{{p}^{2}}+22p+13=0\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& p=-1 \\
& p=\dfrac{-13}{9} \\
\end{aligned} \right.$
+ Với $p=-1\Rightarrow \overrightarrow{{{u}_{AB}}}(0;-1;0)\Rightarrow \overrightarrow{{{n}_{(P)}}}=\left[ \overrightarrow{{{u}_{AB}}};\overrightarrow{i} \right]=(0;0;1)\Rightarrow (P):z=0$
Khi đó (P) chứa trục Oz nên loại trường hợp này
+) Với $p=\dfrac{-13}{9}$ ta được $\overrightarrow{AB}=\left( -\dfrac{8}{9};-\dfrac{1}{9};\dfrac{-4}{9} \right)=\dfrac{-1}{9}(8;1;4)$
$\Rightarrow \overrightarrow{{{n}_{\left( P \right)}}}(0;-4;1)=\left[ \overrightarrow{AB};\overrightarrow{i} \right]\Rightarrow (P):4y-z-8=0$
Vậy có duy nhất một mặt phẳng (P) thỏa mãn yêu cầu bài toán. Chọn D.
Đáp án D.