Trong không gian $Oxyz,$ cho điểm $H\left( 1;4;6 \right)$ và đường...

Gọi $\left( P \right)$ là mặt phẳng đi qua $H$ và vuông góc với $\Delta $ tại điểm $A.$ Khi đó $A$ là hình chiếu của $H$ trên $\left( P \right).$
Ta có $\left( P \right)$ đi qua $H$ và nhận $\vec{u}=\left( 1 ; -2 ; 2 \right)$ làm VTPT
$\Rightarrow $ Phương trình của mặt phẳng $\left( P \right):1\left( x-1 \right)-2\left( y-4 \right)+2\left( z-6 \right)=0\Leftrightarrow x-2y+2z-5=0.$
Lại có $\Delta :\left\{ \begin{aligned}
& x=2+t \\
& y=1-2t \\
& z=2t \\
\end{aligned} \right.$.
Khi đó tọa độ điểm $A$ thỏa mãn hệ $\left\{ \begin{aligned}
& x=2+t \\
& y=1-2t \\
& z=2t \\
& x-2y+2z-5=0 \\
\end{aligned} \right.\Rightarrow \left\{ \begin{aligned}
& x=\dfrac{23}{9} \\
& y=\dfrac{-1}{9} \\
& z=\dfrac{10}{9} \\
\end{aligned} \right.$
$\Rightarrow A\left( \dfrac{23}{9} ; -\dfrac{1}{9} ; \dfrac{10}{9} \right).$