Google
Câu hỏi: Trong không gian $Oxyz$, cho điểm $E\left( 1;1;1 \right)$, mặt cầu $\left( S \right):{{x}^{2}}+{{y}^{2}}+{{z}^{2}}=4$ và mặt phẳng $\left( P \right):x-3y+5z-3=0$. Đường thẳng đi qua $E$, nằm trong $\left( P \right)$ và cắt $\left( S \right)$ tại hai điểm $A,B$ sao cho tam giác $OAB$ là tam giác đều có một vecto chỉ phương là $\vec{u}=\left( a;2;b \right)$. Giá trị của $-a+2b$ bằng
A. $0$.
B. $8$.
C. $4$.
D. $6$.
Mặt cầu $\left( S \right)$ có tâm $O\left( 0;0;0 \right),R=2$ và mặt phẳng $\left( P \right)$ có VTPT $\vec{n}=\left( 1;-3;5 \right)$
Do tam giác $OAB$ đều nên $AB=OA=OB=R=2$
$\Rightarrow {{d}_{\left( OAB \right)}}=\sqrt{{{R}^{2}}-\dfrac{A{{B}^{2}}}{4}}=\sqrt{3}$
Phương trình đường thẳng $AB:\left\{ \begin{aligned}
& x=1+at \\
& y=1+2t \\
& z=1+bt \\
\end{aligned} \right.\left( t\in \mathbb{R} \right)$
Ta có: $\overrightarrow{OE}=\left( 1;1;1 \right);\left[ \overrightarrow{OE};{{{\vec{u}}}_{AB}} \right]=\left( b-2;a-b;2-a \right)$
Theo đề ta có hệ $\left\{ \begin{aligned}
& \vec{n}\bot {{{\vec{u}}}_{AB}} \\
& {{d}_{\left( O,AB \right)}}=\sqrt{3} \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& \vec{n}.{{{\vec{u}}}_{AB}}=0 \\
& \dfrac{\left| \left[ \overrightarrow{OE};{{{\vec{u}}}_{AB}} \right] \right|}{\left| {{{\vec{u}}}_{AB}} \right|}=\sqrt{3} \\
\end{aligned} \right.$
$\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& 1.a-3.2+5.b=0 \\
& \dfrac{\sqrt{{{\left( b-2 \right)}^{2}}+{{\left( a-b \right)}^{2}}+{{\left( 2-a \right)}^{2}}}}{\sqrt{{{a}^{2}}+{{2}^{2}}+{{b}^{2}}}}=\sqrt{3} \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& a+5b=6 \\
& {{\left( a+b+2 \right)}^{2}}=0 \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& a+5b=6 \\
& a+b=-2 \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& a=-4 \\
& b=2 \\
\end{aligned} \right.$
$\Rightarrow -a+2b=4+2.2=8$
A. $0$.
B. $8$.
C. $4$.
D. $6$.
Mặt cầu $\left( S \right)$ có tâm $O\left( 0;0;0 \right),R=2$ và mặt phẳng $\left( P \right)$ có VTPT $\vec{n}=\left( 1;-3;5 \right)$
Do tam giác $OAB$ đều nên $AB=OA=OB=R=2$
$\Rightarrow {{d}_{\left( OAB \right)}}=\sqrt{{{R}^{2}}-\dfrac{A{{B}^{2}}}{4}}=\sqrt{3}$
Phương trình đường thẳng $AB:\left\{ \begin{aligned}
& x=1+at \\
& y=1+2t \\
& z=1+bt \\
\end{aligned} \right.\left( t\in \mathbb{R} \right)$
Ta có: $\overrightarrow{OE}=\left( 1;1;1 \right);\left[ \overrightarrow{OE};{{{\vec{u}}}_{AB}} \right]=\left( b-2;a-b;2-a \right)$
Theo đề ta có hệ $\left\{ \begin{aligned}
& \vec{n}\bot {{{\vec{u}}}_{AB}} \\
& {{d}_{\left( O,AB \right)}}=\sqrt{3} \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& \vec{n}.{{{\vec{u}}}_{AB}}=0 \\
& \dfrac{\left| \left[ \overrightarrow{OE};{{{\vec{u}}}_{AB}} \right] \right|}{\left| {{{\vec{u}}}_{AB}} \right|}=\sqrt{3} \\
\end{aligned} \right.$
$\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& 1.a-3.2+5.b=0 \\
& \dfrac{\sqrt{{{\left( b-2 \right)}^{2}}+{{\left( a-b \right)}^{2}}+{{\left( 2-a \right)}^{2}}}}{\sqrt{{{a}^{2}}+{{2}^{2}}+{{b}^{2}}}}=\sqrt{3} \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& a+5b=6 \\
& {{\left( a+b+2 \right)}^{2}}=0 \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& a+5b=6 \\
& a+b=-2 \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& a=-4 \\
& b=2 \\
\end{aligned} \right.$
$\Rightarrow -a+2b=4+2.2=8$
Đáp án B.