Trong không gian Oxyz, cho điểm $E(1;1;2)$, mặt phẳng...

Mặt cầu (S) có tâm O(0; 0; 0) và bán kính R = 3 .
Ta có $OE=\sqrt{{{1}^{2}}+{{1}^{2}}+{{2}^{2}}}=\sqrt{6}<R\Rightarrow $ điểm E nằm trong mặt cầu (S)
Gọi H là hình chiếu của O trên (P), A và B là hai giao điểm của ∆ với (S).
Khi đó AB nhỏ nhất $\Leftrightarrow AB\bot HE$
Mà $AB\bot OH$ nên $AB\bot (HEO)\Rightarrow AB\bot OE$
Suy ra ${{\overrightarrow{u}}_{\Delta }}=\left[ {{\overrightarrow{n}}_{(P)}};\overrightarrow{EO} \right]=(-1;1;0)$. Vậy phương trình ∆ là $\left\{ \begin{aligned}
& x=1-t \\
& y=1+t \\
& z=2 \\
\end{aligned} \right.$
+ Phương trình tổng quát mặt cầu ${{x}^{2}}+{{y}^{2}}+{{z}^{2}}-2ax-2by-2cz+d=0$
+ Suy ra mặt cầu có tâm I(a;b;c) và bán kính $R=\sqrt{{{a}^{2}}+{{b}^{2}}+{{c}^{2}}-d}$
+ Độ dài đoạn thẳng nối gốc tọa độ O với một điểm M bất kì trong không gian là: $OM=\sqrt{x_{M}^{2}+y_{M}^{2}+z_{M}^{2}}$
+ Trong các đường xiên từ một điểm nằm ngoài đường thẳng đến đường thẳng thì đường ngắn nhất là đường vuông góc.
+ Đường thẳng vuông góc với mặt phẳng thì vuông góc với mọi đường thẳng trong mặt phẳng.
+ Véctơ cùng vuông với hai véctơ khác thì tọa độ véctơ đó bằng tích có hướng của hai véctơ đã cho.
+ Công thức tọa độ véctơ tích có hướng trong không gian.
Cho véctơ $\overrightarrow{a}=({{a}_{1}};{{b}_{1}};{{c}_{1}}),\overrightarrow{b}=({{a}_{2}};{{b}_{2}};{{c}_{2}})$ ta có:
$\left\{ \begin{aligned}
& \overrightarrow{u}\bot \overrightarrow{a} \\
& \overrightarrow{u}\bot \overrightarrow{b} \\
\end{aligned} \right.\Rightarrow \overrightarrow{u}=\left[ \overrightarrow{a};\overrightarrow{b} \right]=\left( \left| \begin{matrix}
{{b}_{1}} & {{c}_{1}} \\
{{b}_{2}} & {{c}_{2}} \\
\end{matrix} \right|;\left| \begin{matrix}
{{c}_{1}} & {{a}_{1}} \\
{{c}_{2}} & {{a}_{2}} \\
\end{matrix} \right|;\left| \begin{matrix}
{{a}_{1}} & {{b}_{1}} \\
{{a}_{2}} & {{b}_{2}} \\
\end{matrix} \right| \right)=({{b}_{1}}{{c}_{2}}-{{b}_{2}}{{c}_{1}};{{c}_{1}}{{a}_{2}}-{{c}_{2}}{{a}_{1}};{{a}_{1}}{{b}_{2}}-{{a}_{2}}{{b}_{1}})$
+ Phương trình tham số của đường thẳng có véctơ chỉ phương $\overrightarrow{u}=(a;b;c)$ và đi qua điểm $M({{x}_{0}};{{y}_{0}};{{z}_{0}})$ là $\left\{ \begin{aligned}
& x={{x}_{0}}+at \\
& y={{y}_{0}}+bt \\
& z={{z}_{0}}+ct \\
\end{aligned} \right.(t\in \mathbb{R})$