Google
Câu hỏi: Trong không gian $Oxyz$, cho điểm $A\left( -3;3;-3 \right)$ thuộc mặt phẳng $\left( \alpha \right):2x2y+z+15=0$ và mặt cầu $\left( S \right):{{(x-2)}^{2}}+{{(y-3)}^{2}}+{{(z-5)}^{2}}=100$. Đường thẳng $\Delta $ qua $A$, nằm trên mặt phẳng $\left( \alpha \right)$ cắt $(S)$ tại $A$, $B$. Để độ dài $AB$ lớn nhất thì phương trình đường thẳng $\Delta $ là
A. $\dfrac{x+3}{1}=\dfrac{y-3}{4}=\dfrac{z+3}{6}$.
B. $\dfrac{x+3}{16}=\dfrac{y-3}{11}=\dfrac{z+3}{-10}$.
C. $\left\{ \begin{aligned}
& x=-3+5t \\
& y=3 \\
& z=-3+8t \\
\end{aligned} \right. $.
D. $ \dfrac{x+3}{1}=\dfrac{y-3}{1}=\dfrac{z+3}{3}$.
A. $\dfrac{x+3}{1}=\dfrac{y-3}{4}=\dfrac{z+3}{6}$.
B. $\dfrac{x+3}{16}=\dfrac{y-3}{11}=\dfrac{z+3}{-10}$.
C. $\left\{ \begin{aligned}
& x=-3+5t \\
& y=3 \\
& z=-3+8t \\
\end{aligned} \right. $.
D. $ \dfrac{x+3}{1}=\dfrac{y-3}{1}=\dfrac{z+3}{3}$.
Mặt cầu $\left( S \right)$ có tâm $I\left( 2;3;5 \right)$, bán kính $R=10$. Do $d(I,(\alpha ))<R$ nên $\Delta $ luôn cắt $\left( \text{S} \right)$ tại $A$, $B$.
Khi đó $AB=\sqrt{{{R}^{2}}-{{\left( d(I,\Delta ) \right)}^{2}}}$. Do đó, $AB$ lớn nhất thì $d\left( I,\left( \Delta \right) \right)$ nhỏ nhất nên $\Delta $ qua $H$, với $H$ là hình chiếu vuông góc của I lên $\left( \alpha \right)$. Phương trình $BH:\left\{ \begin{aligned}
& \text{x}=2+2\text{t} \\
& \text{y}=3-2t \\
& \text{z}=5+\text{t} \\
\end{aligned} \right.$
$H\in (\alpha )\Rightarrow 2\left( 2+2t \right)-2\left( 32t \right)+5+t+15=0$ $\Leftrightarrow \text{t}=-2\Rightarrow H\left( -2;7;3 \right)$.
Do vậy $\overrightarrow{\text{AH}}=(1;4;6)$ là véc tơ chỉ phương của $\Delta $. Phương trình của $\dfrac{x+3}{1}=\dfrac{y-3}{4}=\dfrac{z+3}{6}$.
Khi đó $AB=\sqrt{{{R}^{2}}-{{\left( d(I,\Delta ) \right)}^{2}}}$. Do đó, $AB$ lớn nhất thì $d\left( I,\left( \Delta \right) \right)$ nhỏ nhất nên $\Delta $ qua $H$, với $H$ là hình chiếu vuông góc của I lên $\left( \alpha \right)$. Phương trình $BH:\left\{ \begin{aligned}
& \text{x}=2+2\text{t} \\
& \text{y}=3-2t \\
& \text{z}=5+\text{t} \\
\end{aligned} \right.$
$H\in (\alpha )\Rightarrow 2\left( 2+2t \right)-2\left( 32t \right)+5+t+15=0$ $\Leftrightarrow \text{t}=-2\Rightarrow H\left( -2;7;3 \right)$.
Do vậy $\overrightarrow{\text{AH}}=(1;4;6)$ là véc tơ chỉ phương của $\Delta $. Phương trình của $\dfrac{x+3}{1}=\dfrac{y-3}{4}=\dfrac{z+3}{6}$.
Đáp án A.