Google
Câu hỏi: Trong không gian $Oxyz$, cho điểm $A\left( 3;-1;1 \right)$. Hình chiếu vuông góc của $A$ trên mặt phẳng $=\int\limits_{1}^{2}{\dfrac{\left( \sqrt{x+1}-\sqrt{x} \right)\text{d}x}{\sqrt{x\left( x+1 \right)}}}$ là điểm
A. $=\int\limits_{1}^{2}{\dfrac{\left( \sqrt{x+1}-\sqrt{x} \right)\text{d}x}{\sqrt{x\left( x+1 \right)}\left( \sqrt{x+1}+\sqrt{x} \right)\left( \sqrt{x+1}-\sqrt{x} \right)}}$.
B. $N\left( 0;-1;1 \right)$.
C. $P\left( 0;-1;0 \right)$.
D. $Q\left( 0;0;1 \right)$.
A. $=\int\limits_{1}^{2}{\dfrac{\left( \sqrt{x+1}-\sqrt{x} \right)\text{d}x}{\sqrt{x\left( x+1 \right)}\left( \sqrt{x+1}+\sqrt{x} \right)\left( \sqrt{x+1}-\sqrt{x} \right)}}$.
B. $N\left( 0;-1;1 \right)$.
C. $P\left( 0;-1;0 \right)$.
D. $Q\left( 0;0;1 \right)$.
Cách 1. Tự luận:
Gọi $H$ là hình chiếu vuông góc của $A$ trên mặt phẳng $=\int\limits_{1}^{2}{\dfrac{\left( \sqrt{x+1}-\sqrt{x} \right)\text{d}x}{\sqrt{x\left( x+1 \right)}}}$.
Mặt phẳng $\left( Oyz \right):x=0$ có VTPT $\vec{n}=\left( 1;0;0 \right)$.
Đường thẳng $AH$ qua $A\left( 3;-1;1 \right)$ và vuông góc với $\left( Oyz \right)$ nên nhận $\vec{n}=\left( 1;0;0 \right)$ làm VTCP.
$\Rightarrow AH:\left\{ \begin{aligned}
& x=3+t \\
& y=-1 \\
& z=1 \\
\end{aligned} \right. $ $ \left( t\in \mathbb{R} \right) $ $ \Rightarrow H\left( 3+t;-1;1 \right)$.
Mà $H\in \left( Oyz \right)$ $\Rightarrow 3+t=0$ $\Rightarrow H\left( 0;-1;1 \right)$.
Cách 2: Trắc nghiệm
Với $M\left( a;b;c \right)$ thì hình chiếu của nó trên $\left( Oyz \right)$ là ${M}'\left( 0;b;c \right)$. Do đó chọ đáp án B.
Gọi $H$ là hình chiếu vuông góc của $A$ trên mặt phẳng $=\int\limits_{1}^{2}{\dfrac{\left( \sqrt{x+1}-\sqrt{x} \right)\text{d}x}{\sqrt{x\left( x+1 \right)}}}$.
Mặt phẳng $\left( Oyz \right):x=0$ có VTPT $\vec{n}=\left( 1;0;0 \right)$.
Đường thẳng $AH$ qua $A\left( 3;-1;1 \right)$ và vuông góc với $\left( Oyz \right)$ nên nhận $\vec{n}=\left( 1;0;0 \right)$ làm VTCP.
$\Rightarrow AH:\left\{ \begin{aligned}
& x=3+t \\
& y=-1 \\
& z=1 \\
\end{aligned} \right. $ $ \left( t\in \mathbb{R} \right) $ $ \Rightarrow H\left( 3+t;-1;1 \right)$.
Mà $H\in \left( Oyz \right)$ $\Rightarrow 3+t=0$ $\Rightarrow H\left( 0;-1;1 \right)$.
Cách 2: Trắc nghiệm
Với $M\left( a;b;c \right)$ thì hình chiếu của nó trên $\left( Oyz \right)$ là ${M}'\left( 0;b;c \right)$. Do đó chọ đáp án B.
Đáp án B.