Google
Câu hỏi: Trong không gian $Oxyz$, cho điểm $A\left( -3; 1; 0 \right)$ và đường thẳng $d: \dfrac{x-2}{1}=\dfrac{y+5}{2}=\dfrac{z-1}{-2}$. Mặt phẳng $\left( P \right)$ chứa đường thẳng $d$ sao cho khoảng cách từ $A$ đến $\left( P \right)$ lớn nhất, $\left( P \right)$ có phương trình là
A. $6x-4y-z-31=0$.
B. $x+2y-2z-3=0$.
C. $5x-6y-z-1=0$.
D. $2x-5y+z+1=0$.
+ Gọi $I$ là hình chiếu của điểm $A$ lên đường thẳng $d$.
Vì $I\in d$ nên $I\left( 2+t; -5+2t; 1-2t \right)$. Khi đó $\overrightarrow{AI}=\left( 5+t; -6+2t; 1-2t \right)$ và $\overrightarrow{{{u}_{d}}}=\left( 1; 2; -2 \right)$.
Ta có, $AI\bot d\Leftrightarrow \overrightarrow{AI}.\overrightarrow{{{u}_{d}}}=0\Leftrightarrow 1.\left( 5+t \right)+2\left( -6+2t \right)-2\left( 1-2t \right)=0\Leftrightarrow t=1$ $\Rightarrow I\left( 3; -3; -1 \right)$. Gọi $H$ là hình chiếu của điểm $A$ lên mặt phẳng $\left( P \right)$. Ta có, $AH\le AI$ ; do đó khoảng cách từ điểm $A$ đến mặt phẳng $\left( P \right)$ lớn nhất bằng $AI$. Khi đó mặt phẳng $\left( P \right)$ vuông góc với $AI$.
+ Mặt phẳng $\left( P \right)$ đi qua điểm $I\left( 3; -3; -1 \right)$ nhận $\overrightarrow{AI}=\left( 6; -4; -1 \right)$ làm véc tơ pháp tuyến có phương trình tổng quát là $6x-4y-z-31=0$.
A. $6x-4y-z-31=0$.
B. $x+2y-2z-3=0$.
C. $5x-6y-z-1=0$.
D. $2x-5y+z+1=0$.
Vì $I\in d$ nên $I\left( 2+t; -5+2t; 1-2t \right)$. Khi đó $\overrightarrow{AI}=\left( 5+t; -6+2t; 1-2t \right)$ và $\overrightarrow{{{u}_{d}}}=\left( 1; 2; -2 \right)$.
Ta có, $AI\bot d\Leftrightarrow \overrightarrow{AI}.\overrightarrow{{{u}_{d}}}=0\Leftrightarrow 1.\left( 5+t \right)+2\left( -6+2t \right)-2\left( 1-2t \right)=0\Leftrightarrow t=1$ $\Rightarrow I\left( 3; -3; -1 \right)$. Gọi $H$ là hình chiếu của điểm $A$ lên mặt phẳng $\left( P \right)$. Ta có, $AH\le AI$ ; do đó khoảng cách từ điểm $A$ đến mặt phẳng $\left( P \right)$ lớn nhất bằng $AI$. Khi đó mặt phẳng $\left( P \right)$ vuông góc với $AI$.
+ Mặt phẳng $\left( P \right)$ đi qua điểm $I\left( 3; -3; -1 \right)$ nhận $\overrightarrow{AI}=\left( 6; -4; -1 \right)$ làm véc tơ pháp tuyến có phương trình tổng quát là $6x-4y-z-31=0$.
Đáp án A.