Google
Câu hỏi: Trong không gian Oxyz, cho điểm $A\left( 2;5;3 \right)$ và đường thẳng $d:\dfrac{x-1}{2}=\dfrac{y}{1}=\dfrac{z-2}{2}.$ Gọi (P) là mặt phẳng chứa d sao cho khoảng cách từ điểm A đến (P) lớn nhất. Khoảng cách từ gốc tọa độ O đến (P) bằng.
A. $\dfrac{1}{\sqrt{2}}.$
B. $\dfrac{3}{\sqrt{6}}.$
C. $\dfrac{11\sqrt{2}}{6}.$
D. $\sqrt{2}.$
Gọi K là hình chiếu của A lên đường thẳng d. H là hình chiếu của A lên mặt phẳng (P). Khi đó $d\left( A,\left( P \right) \right)=AH\le AK$ không đổi.
Vậy khoảng cách từ điểm A đến (P) lớn nhất khi $H\equiv K.$
Khi đó $AK\bot \left( P \right).$
Giả sử $K\left( 1+2t;t;2+2t \right)\in d$. Suy ra $\overrightarrow{AK}=\left( -1+2t;-5+t;-1+2t \right).$
Ta có: $\overrightarrow{AK}\bot \overrightarrow{{{u}_{d}}}=\left( 2;1;2 \right)\Leftrightarrow \overrightarrow{AK}.\overrightarrow{{{u}_{d}}}=0$
$\Leftrightarrow 2\left( -1+2t \right)-5+t+2\left( -1+2t \right)=0\Leftrightarrow t=1\Rightarrow K\left( 3;1;4 \right)$ và $\overrightarrow{AK}=\left( 1;-4;1 \right).$
Mặt phẳng (P) có phương trình:
$\left( x-1 \right)-4\left( y-0 \right)+\left( z-2 \right)\Leftrightarrow x-4y+z-3=0\Rightarrow d\left( O;\left( P \right) \right)=\dfrac{1}{\sqrt{2}}.$
A. $\dfrac{1}{\sqrt{2}}.$
B. $\dfrac{3}{\sqrt{6}}.$
C. $\dfrac{11\sqrt{2}}{6}.$
D. $\sqrt{2}.$
Gọi K là hình chiếu của A lên đường thẳng d. H là hình chiếu của A lên mặt phẳng (P). Khi đó $d\left( A,\left( P \right) \right)=AH\le AK$ không đổi.
Vậy khoảng cách từ điểm A đến (P) lớn nhất khi $H\equiv K.$
Khi đó $AK\bot \left( P \right).$
Giả sử $K\left( 1+2t;t;2+2t \right)\in d$. Suy ra $\overrightarrow{AK}=\left( -1+2t;-5+t;-1+2t \right).$
Ta có: $\overrightarrow{AK}\bot \overrightarrow{{{u}_{d}}}=\left( 2;1;2 \right)\Leftrightarrow \overrightarrow{AK}.\overrightarrow{{{u}_{d}}}=0$
$\Leftrightarrow 2\left( -1+2t \right)-5+t+2\left( -1+2t \right)=0\Leftrightarrow t=1\Rightarrow K\left( 3;1;4 \right)$ và $\overrightarrow{AK}=\left( 1;-4;1 \right).$
Mặt phẳng (P) có phương trình:
$\left( x-1 \right)-4\left( y-0 \right)+\left( z-2 \right)\Leftrightarrow x-4y+z-3=0\Rightarrow d\left( O;\left( P \right) \right)=\dfrac{1}{\sqrt{2}}.$
Đáp án A.