Google
Câu hỏi: Trong không gian $Oxyz$, cho điểm $A\left( -2; -2; -7 \right)$, đường thẳng $d:\dfrac{x-1}{2}=\dfrac{y-2}{3}=\dfrac{z-3}{4}$ và mặt cầu $\left( S \right):{{\left( x+3 \right)}^{2}}+{{\left( y+4 \right)}^{2}}+{{\left( z+5 \right)}^{2}}=729$. Biết điểm $B$ thuộc giao tuyến của mặt cầu $\left( S \right)$ và mặt phẳng $\left( P \right):2x+3y+4z-107=0$. Khi điểm $M$ di động trên đường thẳng $d$ thì giá trị nhỏ nhất của biểu thức $MA+MB$ bằng
A. $5\sqrt{29}$.
B. $\sqrt{742}$.
C. $5\sqrt{30}$.
D. $27$.
Mặt cầu $\left( S \right)$ có tâm $I\left( -3;-4;-5 \right)$ và bán kính $R=27$.
Đường thẳng $d$ có 1 véc-tơ chỉ phương là $\overrightarrow{u}=\left( 2;3;4 \right)\Rightarrow d\bot \left( P \right)$.
Gọi $K$ là giao điểm của mặt phẳng $\left( P \right)$ và đường thẳng $d$. Vì $I\in d$ nên $K$ là tâm của đường tròn giao tuyến và $KB\bot d$.
Ta có: $\overrightarrow{IA}=\left( 1;2;-2 \right)\Rightarrow IA=3$ và $\overrightarrow{IA}. \overrightarrow{u}=0\Rightarrow IA\bot d$.
Ta tính được $IK=\text{d}\left( I, \left( P \right) \right)=\dfrac{\left| 2.\left( -3 \right)+3.\left( -4 \right)+4\left( -5 \right)-107 \right|}{\sqrt{{{2}^{2}}+{{3}^{2}}+{{4}^{2}}}}=5\sqrt{29}$ và $KB=\sqrt{{{R}^{2}}-I{{K}^{2}}}=2$.
Do $M$ di động trên đường thẳng $d$ (trục của đường tròn giao tuyến) và $B$ thuộc đường tròn giao tuyến nên biểu thức $MA+MB$ nhỏ nhất khi và chỉ khi $M=AB\cap d$.
Khi đó, ta có $\dfrac{MI}{MK}=\dfrac{IA}{KB}=\dfrac{3}{2}$ và $MI+MK=IK=5\sqrt{29}$. Suy ra $MI=3\sqrt{29}$, $MK=2\sqrt{29}$.
Ta có: $AM=\sqrt{I{{A}^{2}}+M{{I}^{2}}}=3\sqrt{30}$ $\Rightarrow BM=\dfrac{2}{3}AM=2\sqrt{30}$.
Vậy ${{\left( AM+BM \right)}_{\min }}=3\sqrt{30}+2\sqrt{30}=5\sqrt{30}$.
A. $5\sqrt{29}$.
B. $\sqrt{742}$.
C. $5\sqrt{30}$.
D. $27$.
Đường thẳng $d$ có 1 véc-tơ chỉ phương là $\overrightarrow{u}=\left( 2;3;4 \right)\Rightarrow d\bot \left( P \right)$.
Gọi $K$ là giao điểm của mặt phẳng $\left( P \right)$ và đường thẳng $d$. Vì $I\in d$ nên $K$ là tâm của đường tròn giao tuyến và $KB\bot d$.
Ta có: $\overrightarrow{IA}=\left( 1;2;-2 \right)\Rightarrow IA=3$ và $\overrightarrow{IA}. \overrightarrow{u}=0\Rightarrow IA\bot d$.
Ta tính được $IK=\text{d}\left( I, \left( P \right) \right)=\dfrac{\left| 2.\left( -3 \right)+3.\left( -4 \right)+4\left( -5 \right)-107 \right|}{\sqrt{{{2}^{2}}+{{3}^{2}}+{{4}^{2}}}}=5\sqrt{29}$ và $KB=\sqrt{{{R}^{2}}-I{{K}^{2}}}=2$.
Do $M$ di động trên đường thẳng $d$ (trục của đường tròn giao tuyến) và $B$ thuộc đường tròn giao tuyến nên biểu thức $MA+MB$ nhỏ nhất khi và chỉ khi $M=AB\cap d$.
Khi đó, ta có $\dfrac{MI}{MK}=\dfrac{IA}{KB}=\dfrac{3}{2}$ và $MI+MK=IK=5\sqrt{29}$. Suy ra $MI=3\sqrt{29}$, $MK=2\sqrt{29}$.
Ta có: $AM=\sqrt{I{{A}^{2}}+M{{I}^{2}}}=3\sqrt{30}$ $\Rightarrow BM=\dfrac{2}{3}AM=2\sqrt{30}$.
Vậy ${{\left( AM+BM \right)}_{\min }}=3\sqrt{30}+2\sqrt{30}=5\sqrt{30}$.
Đáp án C.