Trong không gian Oxyz, cho điểm $A\left( 2;2;2 \right)$ và mặt cầu...

$\left( S \right)$ có tâm $I\left( 0;0;1 \right)$ ; bán kính $R=2$.
Xét tam giác $\Delta ABI$ vuông tại B có $BI=R=2,AI=3$.
Gọi $H=\left( BCD \right)\cap AI$
Ta có $AI\bot \left( BCD \right)$ tại H và $B{{I}^{2}}=HI.AI\Rightarrow IH=\dfrac{4}{3}$.
Khi đó mặt phẳng $\left( BCD \right)$ có vectơ pháp tuyến $\overrightarrow{n}=\overrightarrow{AI}$ và cách I một khoảng $\dfrac{4}{3}$ nên $\left\{ \begin{aligned}
& mp\left( BCD \right):2x+2y+z+d=0 \\
& d\left( I;\left( BCD \right) \right)=\dfrac{4}{3} \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow \dfrac{\left| 1+d \right|}{3}=\dfrac{4}{3}\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& d=3 \\
& d=-5 \\
\end{aligned} \right..$
Do vậy $\left[ \begin{aligned}
& \left( BCD \right):2x+2y+z+3=0\Rightarrow d\left( A;\left( BCD \right) \right)=\dfrac{13}{3} \\
& \left( BCD \right):2x+2y+z-5=0\Rightarrow d\left( A;\left( BCD \right) \right)=\dfrac{5}{3} \\
\end{aligned} \right..$
Vì $d\left( A;\left( BCD \right) \right)=\dfrac{13}{3}>AI$ nên không thỏa mãn.
Vậy phương trình mặt phẳng $\left( BCD \right)$ là $2x+2y+z-5=0$.