Google
Câu hỏi: Trong không gian $Oxyz$, cho điểm $A\left( 2;-2;1 \right)$ và đường thẳng $d$ có phương trình $\dfrac{x-1}{1}=\dfrac{y+1}{1}=\dfrac{z-3}{-1}$. Viết phương trình đường thẳng $\Delta $ đi qua điểm $A$, vuông góc và cắt đường thẳng $d$.
A. $\Delta :\dfrac{x-2}{1}=\dfrac{y+2}{4}=\dfrac{z-1}{5}$.
B. $\Delta :\dfrac{x-2}{-1}=\dfrac{y+2}{5}=\dfrac{z-1}{4}$.
C. $\Delta :\dfrac{x-2}{-1}=\dfrac{y+2}{4}=\dfrac{z-1}{3}$.
D. $\Delta :\dfrac{x-2}{1}=\dfrac{y+2}{3}=\dfrac{z-1}{4}$.
Ta có: $d:\left\{ \begin{aligned}
& x=1+t \\
& y=-1+t \\
& z=3-t \\
\end{aligned} \right.\left( t\in \mathbb{R} \right)$.
Giả sử $\Delta $ qua $A$, vuông góc và cắt $d$ tại $M\Rightarrow M\left( t+1;t-1;3-t \right)$.
Đường thẳng $\Delta $ nhận $\overrightarrow{AM}=\left( t-1;t+1;2-t \right)$ là một VTCP.
Đường thẳng $d$ có một VTCP là $\overrightarrow{u}=\left( 1;1;-1 \right)$.
Ta có: $\Delta \bot d\Leftrightarrow \overrightarrow{AM}.\overrightarrow{u}=0\Leftrightarrow \left( t-1 \right)+\left( t+1 \right)-\left( 2-t \right)=0\Leftrightarrow t=\dfrac{2}{3}\Rightarrow \overrightarrow{AM}=\left( -\dfrac{1}{3};\dfrac{5}{3};\dfrac{4}{3} \right)$.
Đường thẳng $\Delta $ nhận $\overrightarrow{AM}=\left( -\dfrac{1}{3};\dfrac{5}{3};\dfrac{4}{3} \right)$ là một VTCP nên nhận $\overrightarrow{{{u}'}}=\left( -1;5;4 \right)$ là một VTCP.
Kết hợp với $\Delta $ qua $A\left( 2;-2;1 \right)\Rightarrow \Delta :\dfrac{x-2}{-1}=\dfrac{y+2}{5}=\dfrac{z-1}{4}$.
A. $\Delta :\dfrac{x-2}{1}=\dfrac{y+2}{4}=\dfrac{z-1}{5}$.
B. $\Delta :\dfrac{x-2}{-1}=\dfrac{y+2}{5}=\dfrac{z-1}{4}$.
C. $\Delta :\dfrac{x-2}{-1}=\dfrac{y+2}{4}=\dfrac{z-1}{3}$.
D. $\Delta :\dfrac{x-2}{1}=\dfrac{y+2}{3}=\dfrac{z-1}{4}$.
Ta có: $d:\left\{ \begin{aligned}
& x=1+t \\
& y=-1+t \\
& z=3-t \\
\end{aligned} \right.\left( t\in \mathbb{R} \right)$.
Giả sử $\Delta $ qua $A$, vuông góc và cắt $d$ tại $M\Rightarrow M\left( t+1;t-1;3-t \right)$.
Đường thẳng $\Delta $ nhận $\overrightarrow{AM}=\left( t-1;t+1;2-t \right)$ là một VTCP.
Đường thẳng $d$ có một VTCP là $\overrightarrow{u}=\left( 1;1;-1 \right)$.
Ta có: $\Delta \bot d\Leftrightarrow \overrightarrow{AM}.\overrightarrow{u}=0\Leftrightarrow \left( t-1 \right)+\left( t+1 \right)-\left( 2-t \right)=0\Leftrightarrow t=\dfrac{2}{3}\Rightarrow \overrightarrow{AM}=\left( -\dfrac{1}{3};\dfrac{5}{3};\dfrac{4}{3} \right)$.
Đường thẳng $\Delta $ nhận $\overrightarrow{AM}=\left( -\dfrac{1}{3};\dfrac{5}{3};\dfrac{4}{3} \right)$ là một VTCP nên nhận $\overrightarrow{{{u}'}}=\left( -1;5;4 \right)$ là một VTCP.
Kết hợp với $\Delta $ qua $A\left( 2;-2;1 \right)\Rightarrow \Delta :\dfrac{x-2}{-1}=\dfrac{y+2}{5}=\dfrac{z-1}{4}$.
Đáp án B.