Google
Câu hỏi: Trong không gian $Oxyz$, cho điểm $A\left( 2 ; 1 ; 3 \right)$ ; đường thẳng $d$ : $\dfrac{x-1}{2}=\dfrac{y+4}{3}=\dfrac{z-4}{2}$ và mặt phẳng $\left( P \right)$ : $2x-y+2z-3=0$. Gọi $\Delta $ là đường thẳng đi qua điểm $A$, cắt đường thẳng $d$ và song song với mặt phẳng $\left( P \right)$. Đường thẳng $\Delta $ nằm trong mặt phẳng nào sau đây?
A. $3x-2y+2z-10=0$
B. $2x+3y-z-4=0$
C. $3x-y-z-2=0$
D. $2x-2y+z-5=0$
A. $3x-2y+2z-10=0$
B. $2x+3y-z-4=0$
C. $3x-y-z-2=0$
D. $2x-2y+z-5=0$
Mặt phẳng $\left( P \right)$ có một vector pháp tuyến $\overrightarrow{n}=\left( 2 ; -1 ; 2 \right)$.
Gọi $B$ là giao điểm của $\Delta $ và $d$ $\Rightarrow $ $B\left( 1+2t ; -4+3t ; 4+2t \right)$ $\Rightarrow $ $\overrightarrow{AB}=\left( -1+2t ; -5+3t ; 1+2t \right)$.
Do $\Delta \text{ // }\left( P \right)$ nên ta có: $\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{n}=0$ $\Leftrightarrow $ $2\left( -1+2t \right)-1\left( -5+3t \right)+2\left( 1+2t \right)=0$ $\Leftrightarrow $ $t=-1$.
$\Rightarrow $ $B\left( -1 ; -7 ; 2 \right)$.
Dễ thấy $B\notin \left( P \right)$ nên $\Delta $ là đường thẳng đi qua hai điểm $A$ và $B$.
Thay tọa độ $A$ và $B$ vào các đáp án, thấy $A$ và $B$ thuộc mặt phẳng $3x-y-z-2=0$.
Do đó đường thẳng $\Delta $ nằm trong mặt phẳng $3x-y-z-2=0$.
Gọi $B$ là giao điểm của $\Delta $ và $d$ $\Rightarrow $ $B\left( 1+2t ; -4+3t ; 4+2t \right)$ $\Rightarrow $ $\overrightarrow{AB}=\left( -1+2t ; -5+3t ; 1+2t \right)$.
Do $\Delta \text{ // }\left( P \right)$ nên ta có: $\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{n}=0$ $\Leftrightarrow $ $2\left( -1+2t \right)-1\left( -5+3t \right)+2\left( 1+2t \right)=0$ $\Leftrightarrow $ $t=-1$.
$\Rightarrow $ $B\left( -1 ; -7 ; 2 \right)$.
Dễ thấy $B\notin \left( P \right)$ nên $\Delta $ là đường thẳng đi qua hai điểm $A$ và $B$.
Thay tọa độ $A$ và $B$ vào các đáp án, thấy $A$ và $B$ thuộc mặt phẳng $3x-y-z-2=0$.
Do đó đường thẳng $\Delta $ nằm trong mặt phẳng $3x-y-z-2=0$.
Đáp án C.