Google
Câu hỏi: Trong không gian Oxyz, cho điểm $A\left( 2;1;-3 \right),B\left( 1;-1;0 \right)$ và mặt phẳng $\left( P \right):x-2y+z+3=0$. Gọi M là điểm nằm trên mặt phẳng $\left( P \right)$ sao cho BM nhỏ nhất. Mặt phẳng $\left( Q \right)$ qua A, M và góc giữa hai mặt phẳng $\left( P \right),\left( Q \right)$ là lớn nhất. Phương trình mặt phẳng $\left( Q \right)$ là
A. $\left( Q \right):-2\text{x}+y+4\text{z}+15=0$
B. $\left( Q \right):-\text{x}+y+3\text{z}+10=0$
C. $\left( Q \right)\text{:x}+y+\text{z}=0$
D. $\left( Q \right):\text{x}+2y+3\text{z}+5=0$
A. $\left( Q \right):-2\text{x}+y+4\text{z}+15=0$
B. $\left( Q \right):-\text{x}+y+3\text{z}+10=0$
C. $\left( Q \right)\text{:x}+y+\text{z}=0$
D. $\left( Q \right):\text{x}+2y+3\text{z}+5=0$
Ta có góc giữa hai mặt $\left( P \right),\left( Q \right)$ lớn nhất là $90{}^\circ $. Khi đó $\left( P \right)\bot \left( Q \right)$.
Ta có $M\in \left( P \right)$, BM nhỏ nhất $\Rightarrow M$ là hình chiếu của B lên $\left( P \right)$.
$\Delta :\left\{ \begin{aligned}
& qua\text{ B}\left( 1;-1;0 \right) \\
& \Delta \bot \left( P \right)\Rightarrow \overrightarrow{{{u}_{\Delta }}}=\overrightarrow{{{n}_{P}}}=\left( 1;-2;1 \right) \\
\end{aligned} \right.\Rightarrow \Delta :\left\{ \begin{aligned}
& x=1+t \\
& y=-1-2t \\
& z=t \\
\end{aligned} \right.$.
Khi đó $\left\{ M \right\}=\Delta \cap \left( P \right)$ ;
Xét hệ $\left\{ \begin{aligned}
& x=1+t \\
& y=-1-2t \\
& z=t \\
& x-2y+z+3=0 \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& t=-1 \\
& x=0 \\
& y=1 \\
& z=-1 \\
\end{aligned} \right.\Rightarrow M\left( 0;1;-1 \right)$.
Vì $\left\{ \begin{aligned}
& \left( Q \right)\bot \left( P \right) \\
& \left( Q \right)\text{ qua }A,M \\
\end{aligned} \right.\Rightarrow \overrightarrow{{{n}_{Q}}}=\left[ \overrightarrow{{{n}_{P}}},\overrightarrow{AM} \right]=-4\left( 1;1;1 \right)\Rightarrow \left( Q \right):x+y+z=0$.
Ta có $M\in \left( P \right)$, BM nhỏ nhất $\Rightarrow M$ là hình chiếu của B lên $\left( P \right)$.
$\Delta :\left\{ \begin{aligned}
& qua\text{ B}\left( 1;-1;0 \right) \\
& \Delta \bot \left( P \right)\Rightarrow \overrightarrow{{{u}_{\Delta }}}=\overrightarrow{{{n}_{P}}}=\left( 1;-2;1 \right) \\
\end{aligned} \right.\Rightarrow \Delta :\left\{ \begin{aligned}
& x=1+t \\
& y=-1-2t \\
& z=t \\
\end{aligned} \right.$.
Khi đó $\left\{ M \right\}=\Delta \cap \left( P \right)$ ;
Xét hệ $\left\{ \begin{aligned}
& x=1+t \\
& y=-1-2t \\
& z=t \\
& x-2y+z+3=0 \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& t=-1 \\
& x=0 \\
& y=1 \\
& z=-1 \\
\end{aligned} \right.\Rightarrow M\left( 0;1;-1 \right)$.
Vì $\left\{ \begin{aligned}
& \left( Q \right)\bot \left( P \right) \\
& \left( Q \right)\text{ qua }A,M \\
\end{aligned} \right.\Rightarrow \overrightarrow{{{n}_{Q}}}=\left[ \overrightarrow{{{n}_{P}}},\overrightarrow{AM} \right]=-4\left( 1;1;1 \right)\Rightarrow \left( Q \right):x+y+z=0$.
Đáp án C.