Trong không gian Oxyz, cho điểm $A\left( 2;1;-3 \right),B\left(...

The Knowledge · 15/12/21

Câu hỏi: Trong không gian Oxyz, cho điểm

A (2; 1; - 3), B (1; - 1; 0)

và mặt phẳng

(P) : x - 2 y + z + 3 = 0

. Gọi M là điểm nằm trên mặt phẳng

(P)

sao cho BM nhỏ nhất. Mặt phẳng

(Q)

qua A, M và góc giữa hai mặt phẳng

(P), (Q)

là lớn nhất. Phương trình mặt phẳng

(Q)

là
A.

(Q) : - 2 x + y + 4 z + 15 = 0

B.

(Q) : - x + y + 3 z + 10 = 0

C.

(Q) :x + y + z = 0

D.

(Q) : x + 2 y + 3 z + 5 = 0

Ta có góc giữa hai mặt

(P), (Q)

lớn nhất là

90^{\circ}

. Khi đó

(P) ⊥ (Q)

.
Ta có

M \in (P)

, BM nhỏ nhất

\Rightarrow M

là hình chiếu của B lên

(P)

.

Δ : {\begin{aligned} q u a B (1; - 1; 0) \\ Δ ⊥ (P) \Rightarrow \vec{u_{Δ}} = \vec{n_{P}} = (1; - 2; 1) \end{aligned} \Rightarrow Δ : {\begin{aligned} x = 1 + t \\ y = - 1 - 2 t \\ z = t \end{aligned}

.
Khi đó

{M} = Δ \cap (P)

;
Xét hệ

{\begin{aligned} x = 1 + t \\ y = - 1 - 2 t \\ z = t \\ x - 2 y + z + 3 = 0 \end{aligned} \Leftrightarrow {\begin{aligned} t = - 1 \\ x = 0 \\ y = 1 \\ z = - 1 \end{aligned} \Rightarrow M (0; 1; - 1)

.
Vì

{\begin{aligned} (Q) ⊥ (P) \\ (Q) qua A, M \end{aligned} \Rightarrow \vec{n_{Q}} = [\vec{n_{P}}, \vec{A M}] = - 4 (1; 1; 1) \Rightarrow (Q) : x + y + z = 0

.

Đáp án C.