Google
Câu hỏi: Trong không gian $Oxyz$ cho điểm $A\left( 2; -1; -2 \right)$ và đường thẳng $\left( d \right) : \dfrac{x-1}{1}=\dfrac{y-1}{-1}=\dfrac{z-1}{1}$. Gọi $\left( P \right)$ là mặt phẳng đi qua điểm $A$, song song với đường thẳng $\left( d \right)$ và khoảng cách từ $\left( d \right)$ tới $\left( P \right)$ là lớn nhất. Khi đó mặt phẳng $\left( P \right)$ vuông góc với mặt phẳng nào sau đây?
A. $x+3y+2z+10=0$.
B. $3x+z+2=0$.
C. $x-2y-3z-1=0$.
D. $x-y-6=0$.
Gọi $H\left( 1+t; 1-t; 1+t \right)$ là hình chiếu của $A$ lên đường thẳng $d$. Ta có:
$\left( d \right)$ có 1 véc tơ chỉ phương $\overrightarrow{{{u}_{d}}}=\left( 1; -1; 1 \right)$, $\overrightarrow{AH}=\left( t-1; 2-t; t+3 \right)$. Khi đó: $\overrightarrow{AH}\bot \overrightarrow{{{u}_{d}}}\Rightarrow \overrightarrow{AH }. \overrightarrow{{{u}_{d}}} =0\Leftrightarrow 1.\left( t-1 \right)-1.\left( 2-t \right)+1.\left( t+3 \right)=0\Leftrightarrow 3t=0\Leftrightarrow t=0\Rightarrow H\left( 1; 1; 1 \right).$
Gọi $K$ là hình chiếu của $H$ trên $\left( P \right)$. Ta có: $\text{d}\left( d; \left( P \right) \right)=\text{d}\left( H; \left( P \right) \right)=HK\le AH\Rightarrow H{{K}_{\max }}=AH\Leftrightarrow AH\bot \left( P \right)\Rightarrow \left( P \right)$ nhận $\overrightarrow{AH}=\left( -1; 2; 3 \right)$
làm véc tơ pháp tuyến.
Giả sử mặt phẳng $\left( Q \right)$ có 1 véc tơ pháp tuyến $\overrightarrow{n}_{Q}$ và $\left( Q \right)\bot \left( P \right)$. Suy ra: $\overrightarrow{n}_{Q}\bot \overrightarrow{AH}$ phù hợp với phương trình mặt phẳng $\left( Q \right)$ là $3x+z+2=0$.
A. $x+3y+2z+10=0$.
B. $3x+z+2=0$.
C. $x-2y-3z-1=0$.
D. $x-y-6=0$.
$\left( d \right)$ có 1 véc tơ chỉ phương $\overrightarrow{{{u}_{d}}}=\left( 1; -1; 1 \right)$, $\overrightarrow{AH}=\left( t-1; 2-t; t+3 \right)$. Khi đó: $\overrightarrow{AH}\bot \overrightarrow{{{u}_{d}}}\Rightarrow \overrightarrow{AH }. \overrightarrow{{{u}_{d}}} =0\Leftrightarrow 1.\left( t-1 \right)-1.\left( 2-t \right)+1.\left( t+3 \right)=0\Leftrightarrow 3t=0\Leftrightarrow t=0\Rightarrow H\left( 1; 1; 1 \right).$
Gọi $K$ là hình chiếu của $H$ trên $\left( P \right)$. Ta có: $\text{d}\left( d; \left( P \right) \right)=\text{d}\left( H; \left( P \right) \right)=HK\le AH\Rightarrow H{{K}_{\max }}=AH\Leftrightarrow AH\bot \left( P \right)\Rightarrow \left( P \right)$ nhận $\overrightarrow{AH}=\left( -1; 2; 3 \right)$
làm véc tơ pháp tuyến.
Giả sử mặt phẳng $\left( Q \right)$ có 1 véc tơ pháp tuyến $\overrightarrow{n}_{Q}$ và $\left( Q \right)\bot \left( P \right)$. Suy ra: $\overrightarrow{n}_{Q}\bot \overrightarrow{AH}$ phù hợp với phương trình mặt phẳng $\left( Q \right)$ là $3x+z+2=0$.
Đáp án B.