Google
Câu hỏi: Trong không gian Oxyz, cho điểm $A\left( 2;1;1 \right)$ và đường thẳng $d:\left\{ \begin{aligned}
& x=1+2t \\
& y=t \\
& z=-2-t \\
\end{aligned} \right..$ Mặt phẳng (P) chứa đường thẳng d sao cho khoảng cách từ điểm A đến (P) lớn nhất có phương trình là
A. $x+2y+4z+7=0.$
B. $4x-7y+z-2=0.$
C. $4x-5y+3z+2=0.$
D. $x+y+3z+5=0.$
Gọi H là hình chiếu của A trên d; K là hình chiếu của A trên (P). Ta có $d\left( A;\left( P \right) \right)=AK\le AH$ (không đổi)
$\Rightarrow d\left( A;\left( P \right) \right)$ lớn nhất khi $K\equiv H$. Vì $H\in d$ nên $H\left( 1+2t;t;-2-t \right)$.
Ta có $\overrightarrow{AH}=\left( 2t-1;t-1;-3-t \right)$.
Đường thẳng d có vectơ chỉ phương $\overrightarrow{u}=\left( 2;1;-1 \right)$
Vì H là hình chiếu của A trên d nên $\overrightarrow{AH}.\overrightarrow{u}=\overrightarrow{0}\Leftrightarrow $ $2\left( 2t-1 \right)+1\left( t-1 \right)+\left( 3+t \right)=0\Leftrightarrow t=0$.
Vậy $H=\left( 1;0;-2 \right)\Rightarrow \overrightarrow{AH}=\left( -1;-1;-3 \right)$. Mặt phẳng (P) qua H và vuông góc với AH nên (P) có phương trình $x+y+3z+5=0$.
& x=1+2t \\
& y=t \\
& z=-2-t \\
\end{aligned} \right..$ Mặt phẳng (P) chứa đường thẳng d sao cho khoảng cách từ điểm A đến (P) lớn nhất có phương trình là
A. $x+2y+4z+7=0.$
B. $4x-7y+z-2=0.$
C. $4x-5y+3z+2=0.$
D. $x+y+3z+5=0.$
Gọi H là hình chiếu của A trên d; K là hình chiếu của A trên (P). Ta có $d\left( A;\left( P \right) \right)=AK\le AH$ (không đổi)
$\Rightarrow d\left( A;\left( P \right) \right)$ lớn nhất khi $K\equiv H$. Vì $H\in d$ nên $H\left( 1+2t;t;-2-t \right)$.
Ta có $\overrightarrow{AH}=\left( 2t-1;t-1;-3-t \right)$.
Đường thẳng d có vectơ chỉ phương $\overrightarrow{u}=\left( 2;1;-1 \right)$
Vì H là hình chiếu của A trên d nên $\overrightarrow{AH}.\overrightarrow{u}=\overrightarrow{0}\Leftrightarrow $ $2\left( 2t-1 \right)+1\left( t-1 \right)+\left( 3+t \right)=0\Leftrightarrow t=0$.
Vậy $H=\left( 1;0;-2 \right)\Rightarrow \overrightarrow{AH}=\left( -1;-1;-3 \right)$. Mặt phẳng (P) qua H và vuông góc với AH nên (P) có phương trình $x+y+3z+5=0$.
Đáp án D.