Google
Câu hỏi: Trong không gian Oxyz, cho điểm $A\left( 2;0;3 \right)$ và mặt phẳng $\left( P \right):x-y+z+1=0$. Điểm $B\left( {{x}_{B}};{{y}_{B}};{{z}_{B}} \right)$ thay đổi thuộc $d:\left\{ \begin{aligned}
& x=7+t \\
& y=-2+2t \\
& z=-4+t \\
\end{aligned} \right. $ sao cho A, B cùng phía so với $ \left( P \right) $, điểm C thay đổi thuộc mặt phẳng $ \left( P \right) $. Biết rằng tam giác ABC có chu vi nhỏ nhất. Giá trị $ {{x}_{B}}-4{{y}_{B}}+{{z}_{B}}$ bằng
A. 2.
B. 3.
C. 4.
D. 5.
Gọi ${A}'$ là điểm đối xứng của A qua mặt phẳng $\left( P \right)\Rightarrow {A}'\left( -2;4;-1 \right)$.
Chu vi tam giác ABC là
$AB+AC+BC=AB+{A}'C+BC\ge AB+{A}'B$
Gọi $B\left( 7+t;-2+2t;-4+t \right)\in d$.
Ta có: $AB+{A}'B=\sqrt{6{{\left( t-1 \right)}^{2}}+77}=\sqrt{6{{\left( t-1 \right)}^{2}}+120}$ đạt giá trị nhỏ nhất khi ${{\left( t-1 \right)}^{2}}=0\Leftrightarrow t=1$.
Vậy $B\left( 8;0;-3 \right)\Rightarrow {{x}_{B}}-4{{y}_{B}}+{{z}_{B}}=5$.
& x=7+t \\
& y=-2+2t \\
& z=-4+t \\
\end{aligned} \right. $ sao cho A, B cùng phía so với $ \left( P \right) $, điểm C thay đổi thuộc mặt phẳng $ \left( P \right) $. Biết rằng tam giác ABC có chu vi nhỏ nhất. Giá trị $ {{x}_{B}}-4{{y}_{B}}+{{z}_{B}}$ bằng
A. 2.
B. 3.
C. 4.
D. 5.
Gọi ${A}'$ là điểm đối xứng của A qua mặt phẳng $\left( P \right)\Rightarrow {A}'\left( -2;4;-1 \right)$.
Chu vi tam giác ABC là
$AB+AC+BC=AB+{A}'C+BC\ge AB+{A}'B$
Gọi $B\left( 7+t;-2+2t;-4+t \right)\in d$.
Ta có: $AB+{A}'B=\sqrt{6{{\left( t-1 \right)}^{2}}+77}=\sqrt{6{{\left( t-1 \right)}^{2}}+120}$ đạt giá trị nhỏ nhất khi ${{\left( t-1 \right)}^{2}}=0\Leftrightarrow t=1$.
Vậy $B\left( 8;0;-3 \right)\Rightarrow {{x}_{B}}-4{{y}_{B}}+{{z}_{B}}=5$.
Đáp án D.