Google
Câu hỏi: Trong không gian Oxyz, cho điểm $A\left( 10;2;1 \right)$ và đường thẳng $d:\dfrac{x-1}{2}=\dfrac{y}{1}=\dfrac{z-1}{3}$. Gọi $\left( P \right)$ là mặt phẳng đi qua điểm A, song song với đường thẳng d sao cho khoảng cách giữa d và $\left( P \right)$ lớn nhất. Khoảng cách từ điểm $M\left( -1;2;3 \right)$ đến mặt phẳng $\left( P \right)$ là
A. $\dfrac{97\sqrt{3}}{15}$
B. $\dfrac{76\sqrt{790}}{790}$
C. $\dfrac{2\sqrt{13}}{13}$
D. $\dfrac{3\sqrt{29}}{29}$
$\left( P \right)$ là mặt phẳng đi qua điểm A và song song với đường thẳng d nên $\left( P \right)$ chứa đướng thẳng ${d}'$ đi qua điểm A và song song với đường thẳng d.
Gọi H là hình chiếu của A trên d, K là hình chiếu của H trên $\left( P \right)$.
Ta có $d\left( d,(P) \right)=HK\le AH$ (AH không đổi)
$\Rightarrow $ Giá trị lớn nhất của $d\left( d,(P) \right)$ là AH
$\Rightarrow d\left( d,(P) \right)$ lớn nhất khi AH vuông góc với $\left( P \right)$.
Khi đó nếu gọi $\left( Q \right)$ là mặt phẳng chứa A và d thì $\left( P \right)$ vuông góc với $\left( Q \right)$
$\Rightarrow \overrightarrow{{{n}_{P}}}=\left[ \overrightarrow{{{u}_{d}}},\overrightarrow{{{n}_{Q}}} \right]=\left( 98;14;-70 \right)$
$\Rightarrow \left( P \right):7\text{x}+y-5\text{z}-77=0\Rightarrow d\left( M,(P) \right)=\dfrac{97\sqrt{3}}{15}$.
A. $\dfrac{97\sqrt{3}}{15}$
B. $\dfrac{76\sqrt{790}}{790}$
C. $\dfrac{2\sqrt{13}}{13}$
D. $\dfrac{3\sqrt{29}}{29}$
$\left( P \right)$ là mặt phẳng đi qua điểm A và song song với đường thẳng d nên $\left( P \right)$ chứa đướng thẳng ${d}'$ đi qua điểm A và song song với đường thẳng d.
Gọi H là hình chiếu của A trên d, K là hình chiếu của H trên $\left( P \right)$.
Ta có $d\left( d,(P) \right)=HK\le AH$ (AH không đổi)
$\Rightarrow $ Giá trị lớn nhất của $d\left( d,(P) \right)$ là AH
$\Rightarrow d\left( d,(P) \right)$ lớn nhất khi AH vuông góc với $\left( P \right)$.
Khi đó nếu gọi $\left( Q \right)$ là mặt phẳng chứa A và d thì $\left( P \right)$ vuông góc với $\left( Q \right)$
$\Rightarrow \overrightarrow{{{n}_{P}}}=\left[ \overrightarrow{{{u}_{d}}},\overrightarrow{{{n}_{Q}}} \right]=\left( 98;14;-70 \right)$
$\Rightarrow \left( P \right):7\text{x}+y-5\text{z}-77=0\Rightarrow d\left( M,(P) \right)=\dfrac{97\sqrt{3}}{15}$.
Đáp án A.