Trong không gian $Oxyz$, cho điểm $A\left( 1;-2;3 \right)$...

Đường thẳng $\Delta $ qua $A$ cắt $d$ và $\left( P \right)$ lần lượt tại $M, N$ sao cho $\overrightarrow{AN}=2\overrightarrow{AM}$
$\Rightarrow M$ là trung điểm của đoạn thẳng $AN$ $\left( 1 \right)$
Gọi $M\in d$ có tọa độ $M\left( 3t+1;t-1;-2t+2 \right)$ $\left( 2 \right)$
Từ $\left( 1 \right)$ và $\left( 2 \right)$ $\Rightarrow N\left( 2{{x}_{M}}-{{x}_{A}};2{{y}_{M}}-{{y}_{A}};2{{z}_{M}}-{{z}_{A}} \right)$ $\Rightarrow N\left( 6t+1;2t;-4t+1 \right)$
Do $N\in \left( P \right)\Rightarrow \left( 6t+1 \right)+2\left( 2t \right)+\left( -4t+1 \right)+4=0\Rightarrow t=-1$ $\Rightarrow N\left( -5;-2;5 \right)$
Đường thẳng $\Delta $ có 1 vectơ chỉ phương là $\overrightarrow{AN}=\left( -6;0;2 \right)=2\left( -3;0;1 \right)$
Vậy phương trình đường thẳng $\Delta $ là: $\left\{ \begin{aligned}
& x=1-3t \\
& y=-2 \\
& z=3+t \\
\end{aligned} \right.$.