Google
Câu hỏi: Trong không gian Oxyz cho điểm $A\left( 1;2; -3 \right)$ và mp $\left( P \right)$ : $2x+2y-z+9=0$. Đường thẳng $d$ đi qua $A$ và vuông góc với mp $\left( Q \right):3x+4y-4z+5=0$, cắt mp $\left( P \right)$ tại $B$. Điểm $M$ nằm trong mp $\left( P \right)$ sao cho $M$ luôn nhìn $AB$ dưới góc vuông. Tính độ dài lớn nhất của $MB$.
A. $MB=\dfrac{\sqrt{41}}{2}$.
B. $MB=\dfrac{\sqrt{5}}{2}$.
C. $MB=\sqrt{5}$.
D. $MB=\sqrt{41}$.
Đường thẳng $d\bot \left( Q \right)$ và $A\in d\Rightarrow d:\dfrac{x-1}{3}=\dfrac{y-2}{4}=\dfrac{z+3}{-4}$.
Theo giả thiết $B=d\cap \left( P \right)\Rightarrow B\left( -2;-2;1 \right)$.
Ta có $M{{A}^{2}}+M{{B}^{2}}=A{{B}^{2}}\Rightarrow M{{B}^{2}}=\underbrace{A{{B}^{2}}}_{const}-M{{A}^{2}}$.
Do đó $M{{B}^{2}}_{\max }\Leftrightarrow MA_{\min }^{2}\Leftrightarrow M{{A}_{\min }}$
Dễ thấy $M{{A}_{\min }}\Leftrightarrow MA=d\left( A;\left( P \right) \right)=\dfrac{\left| 1.2+2.2-3.\left( -1 \right)+9 \right|}{\sqrt{{{2}^{2}}+{{2}^{2}}+{{1}^{2}}}}=6$
Do đó $MB=\sqrt{A{{B}^{2}}-M{{B}^{2}}}=\sqrt{{{\left( \sqrt{41} \right)}^{2}}-{{6}^{2}}}=\sqrt{5}$.
A. $MB=\dfrac{\sqrt{41}}{2}$.
B. $MB=\dfrac{\sqrt{5}}{2}$.
C. $MB=\sqrt{5}$.
D. $MB=\sqrt{41}$.
Đường thẳng $d\bot \left( Q \right)$ và $A\in d\Rightarrow d:\dfrac{x-1}{3}=\dfrac{y-2}{4}=\dfrac{z+3}{-4}$.
Theo giả thiết $B=d\cap \left( P \right)\Rightarrow B\left( -2;-2;1 \right)$.
Ta có $M{{A}^{2}}+M{{B}^{2}}=A{{B}^{2}}\Rightarrow M{{B}^{2}}=\underbrace{A{{B}^{2}}}_{const}-M{{A}^{2}}$.
Do đó $M{{B}^{2}}_{\max }\Leftrightarrow MA_{\min }^{2}\Leftrightarrow M{{A}_{\min }}$
Dễ thấy $M{{A}_{\min }}\Leftrightarrow MA=d\left( A;\left( P \right) \right)=\dfrac{\left| 1.2+2.2-3.\left( -1 \right)+9 \right|}{\sqrt{{{2}^{2}}+{{2}^{2}}+{{1}^{2}}}}=6$
Do đó $MB=\sqrt{A{{B}^{2}}-M{{B}^{2}}}=\sqrt{{{\left( \sqrt{41} \right)}^{2}}-{{6}^{2}}}=\sqrt{5}$.
Đáp án C.