Google
Câu hỏi: Trong không gian $Oxyz$, cho điểm $A\left( 1;-2;1 \right)$ và đường thẳng $d:\dfrac{x+1}{2}=\dfrac{y}{1}=\dfrac{z-3}{-2}$. Phương trình đường thẳng đi qua $A$, vuông góc với $d$ và cắt trục $Ox$ là
A. $\dfrac{x-2}{1}=\dfrac{y-2}{2}=\dfrac{z-3}{1}$.
B. $\dfrac{x-1}{2}=\dfrac{y+2}{-2}=\dfrac{z+1}{1}$.
C. $\dfrac{x+1}{1}=\dfrac{y-2}{2}=\dfrac{z+1}{-1}$.
D. $\dfrac{x-1}{2}=\dfrac{y+2}{-2}=\dfrac{z-1}{1}$.
A. $\dfrac{x-2}{1}=\dfrac{y-2}{2}=\dfrac{z-3}{1}$.
B. $\dfrac{x-1}{2}=\dfrac{y+2}{-2}=\dfrac{z+1}{1}$.
C. $\dfrac{x+1}{1}=\dfrac{y-2}{2}=\dfrac{z+1}{-1}$.
D. $\dfrac{x-1}{2}=\dfrac{y+2}{-2}=\dfrac{z-1}{1}$.
Giả sử $\Delta $ là đường thẳng đi qua $A$, vuông góc với $d$ và cắt trục $Ox$.
Gọi $B=\Delta \cap Ox$ $\Rightarrow B\left( b;0;0 \right)$.
Suy ra $\overrightarrow{AB}=\left( b-1;2;-1 \right)$ là 1 vectơ chỉ phương của đường thẳng $\Delta $.
Ta có đường thẳng $d:\dfrac{x+1}{2}=\dfrac{y}{1}=\dfrac{z-3}{-2}$ có 1 vectơ chỉ phương $\overrightarrow{u}=\left( 2;1;-2 \right)$.
Đường thẳng $\Delta $ vuông góc với $d$ $\Rightarrow \overrightarrow{AB}\bot \overrightarrow{u}$ $\Leftrightarrow \overrightarrow{AB}.\overrightarrow{u}=0$ $\Leftrightarrow 2.\left( b-1 \right)+1.2+\left( -2 \right).\left( -1 \right)=0$ $\Leftrightarrow b=-1$.
$\Rightarrow \overrightarrow{AB}=\left( -2;2;-1 \right)\text{//}\vec{v}=\left( 2;-2;1 \right)$
Do đó $\Delta $ là đường thẳng đi qua $A\left( 1;-2;1 \right)$ nhận vectơ $\overrightarrow{v}=\left( 2;-2;1 \right)$ là 1 vectơ chỉ phương nên có phương trình $\dfrac{x-1}{2}=\dfrac{y+2}{-2}=\dfrac{z-1}{1}$.
Gọi $B=\Delta \cap Ox$ $\Rightarrow B\left( b;0;0 \right)$.
Suy ra $\overrightarrow{AB}=\left( b-1;2;-1 \right)$ là 1 vectơ chỉ phương của đường thẳng $\Delta $.
Ta có đường thẳng $d:\dfrac{x+1}{2}=\dfrac{y}{1}=\dfrac{z-3}{-2}$ có 1 vectơ chỉ phương $\overrightarrow{u}=\left( 2;1;-2 \right)$.
Đường thẳng $\Delta $ vuông góc với $d$ $\Rightarrow \overrightarrow{AB}\bot \overrightarrow{u}$ $\Leftrightarrow \overrightarrow{AB}.\overrightarrow{u}=0$ $\Leftrightarrow 2.\left( b-1 \right)+1.2+\left( -2 \right).\left( -1 \right)=0$ $\Leftrightarrow b=-1$.
$\Rightarrow \overrightarrow{AB}=\left( -2;2;-1 \right)\text{//}\vec{v}=\left( 2;-2;1 \right)$
Do đó $\Delta $ là đường thẳng đi qua $A\left( 1;-2;1 \right)$ nhận vectơ $\overrightarrow{v}=\left( 2;-2;1 \right)$ là 1 vectơ chỉ phương nên có phương trình $\dfrac{x-1}{2}=\dfrac{y+2}{-2}=\dfrac{z-1}{1}$.
Đáp án D.