Google
Câu hỏi: Trong không gian Oxyz, cho điểm $A\left( 1;2;-1 \right)$ và mặt phẳng (P) có phương trình $x+y+2z-13=0.$ Mặt cầu $\left( S \right)$ đi qua A, tiếp xúc với (P) và có bán kính nhỏ nhất. Gọi $I\left( a;b;c \right)$ là tâm của (S), tính $a+b+c.$
A. 6.
B. 5.
C. 2.
D. 1.
A. 6.
B. 5.
C. 2.
D. 1.
Gọi R là bán kính của $\left( S \right)$ và giả sử $\left( S \right)$ tiếp xúc với $\left( P \right)$ tại B.
Kẻ $AH\bot \left( P \right)$ tại H, ta có $2R=IA+IB\ge AB\ge AH\Rightarrow R\ge \dfrac{AH}{2}$ (không đổi)
Dấu "=" xảy ra $\Leftrightarrow \left( S \right)$ có đường kính AH. Khi đó I là trung điểm của cạnh AH.
Đường thẳng AH qua $A\left( 1;2;-1 \right)$ và nhận $\overrightarrow{{{n}_{P}}}=\left( 1;1;2 \right)$ là một VTCP
$\Rightarrow AH:\left\{ \begin{aligned}
& x=1+t \\
& y=2+t \\
& z=-1+2t \\
\end{aligned} \right.\Rightarrow H\left( t+1;t+2;2t-1 \right).$
Điểm $H\in \left( P \right)\Rightarrow \left( t+1 \right)+\left( t+2 \right)+2\left( 2t-1 \right)-13=0\Leftrightarrow 6t-12=0\Leftrightarrow t=2\Rightarrow H\left( 3;4;3 \right).$
Điểm I là trung điểm của cạnh $AH\Rightarrow I\left( 2;3;1 \right)\Rightarrow a+b+c=6.$
Kẻ $AH\bot \left( P \right)$ tại H, ta có $2R=IA+IB\ge AB\ge AH\Rightarrow R\ge \dfrac{AH}{2}$ (không đổi)
Dấu "=" xảy ra $\Leftrightarrow \left( S \right)$ có đường kính AH. Khi đó I là trung điểm của cạnh AH.
Đường thẳng AH qua $A\left( 1;2;-1 \right)$ và nhận $\overrightarrow{{{n}_{P}}}=\left( 1;1;2 \right)$ là một VTCP
$\Rightarrow AH:\left\{ \begin{aligned}
& x=1+t \\
& y=2+t \\
& z=-1+2t \\
\end{aligned} \right.\Rightarrow H\left( t+1;t+2;2t-1 \right).$
Điểm $H\in \left( P \right)\Rightarrow \left( t+1 \right)+\left( t+2 \right)+2\left( 2t-1 \right)-13=0\Leftrightarrow 6t-12=0\Leftrightarrow t=2\Rightarrow H\left( 3;4;3 \right).$
Điểm I là trung điểm của cạnh $AH\Rightarrow I\left( 2;3;1 \right)\Rightarrow a+b+c=6.$
Đáp án A.