Trong không gian Oxyz, cho điểm $A(1;2;-1)$ và mặt...

Gọi R là bán kính của $\left(S\right)$ và giả sử $\left(S\right)$ tiếp xúc với $\left(P\right)$ tại B.
Kẻ $AH\mathrm{\perp }\left(P\right)$ tại H, ta có $2R=IA+IB\ge AB\ge AH\Rightarrow R\ge {\displaystyle \frac{AH}{2}}$ (không đổi)
Dấu "=" xảy ra $\iff \left(S\right)$ có đường kính AH. Khi đó I là trung điểm của cạnh AH.
Đường thẳng AH qua $A(1;2;-1)$ và nhận $\overrightarrow{n_P}=(1;1;2)$ là một VTCP
$\Rightarrow AH:\{\begin{array}{rl}& x=1+t\\ & y=2+t\\ & z=-1+2t\end{array}\Rightarrow H(t+1;t+2;2t-1).$
Điểm $H\in \left(P\right)\Rightarrow (t+1)+(t+2)+2(2t-1)-13=0\iff 6t-12=0\iff t=2\Rightarrow H(3;4;3).$
Điểm I là trung điểm của cạnh $AH\Rightarrow I(2;3;1)\Rightarrow a+b+c=6.$