Google
Câu hỏi: Trong không gian Oxyz, cho điểm $A\left( 1;-1;3 \right)$ và hai đường thẳng ${{d}_{1}}:\dfrac{x-4}{1}=\dfrac{y+2}{4}=\dfrac{z-1}{-2}$, ${{d}_{2}}:\dfrac{x-2}{1}=\dfrac{y+1}{-1}=\dfrac{z-1}{1}$. Viết phương trình đường thẳng d đi qua điểm A, vuông góc với đường thẳng ${{d}_{1}}$ và cắt đường thẳng ${{d}_{2}}$.
A. $d:\dfrac{x-1}{4}=\dfrac{y+1}{1}=\dfrac{z-3}{4}$.
B. $d:\dfrac{x-1}{2}=\dfrac{y+1}{1}=\dfrac{z-3}{3}$.
C. $d:\dfrac{x-1}{2}=\dfrac{y+1}{-1}=\dfrac{z-3}{-1}$.
D. $d:\dfrac{x-1}{-2}=\dfrac{y+1}{2}=\dfrac{z-3}{3}$.
A. $d:\dfrac{x-1}{4}=\dfrac{y+1}{1}=\dfrac{z-3}{4}$.
B. $d:\dfrac{x-1}{2}=\dfrac{y+1}{1}=\dfrac{z-3}{3}$.
C. $d:\dfrac{x-1}{2}=\dfrac{y+1}{-1}=\dfrac{z-3}{-1}$.
D. $d:\dfrac{x-1}{-2}=\dfrac{y+1}{2}=\dfrac{z-3}{3}$.
Gọi $M=d\cap {{d}_{2}}$ ta có ${{d}_{2}}:\left\{ \begin{aligned}
& x=2+t \\
& y=-1-t \\
& z=1+t \\
\end{aligned} \right.\left( t\in \mathbb{R} \right)\Rightarrow M\left( t+2;-t-1;t+1 \right)$.
Đường thẳng d nhận $\overrightarrow{AM}=\left( t+1;-t;t-2 \right)$ là một VTCP.
Đường thẳng ${{d}_{1}}$ có một VTCP là $\overrightarrow{u}=\left( 1;4;-2 \right)$
Ta có:
$d\bot {{d}_{1}}\Leftrightarrow \overrightarrow{AM}.\overrightarrow{u}=0\Leftrightarrow \left( t+1 \right)-4t-2\left( t-2 \right)=0\Leftrightarrow t=1\Rightarrow \overrightarrow{AM}=\left( 2;-1;-1 \right)$.
Đường thẳng d đi qua $A\left( 1;-1;3 \right)$ và nhận $\overrightarrow{AM}=\left( 2;-1;-1 \right)$ là một VTCP
$\Rightarrow d:\dfrac{x-1}{2}=\dfrac{y+1}{-1}=\dfrac{z-3}{-1}$.
& x=2+t \\
& y=-1-t \\
& z=1+t \\
\end{aligned} \right.\left( t\in \mathbb{R} \right)\Rightarrow M\left( t+2;-t-1;t+1 \right)$.
Đường thẳng d nhận $\overrightarrow{AM}=\left( t+1;-t;t-2 \right)$ là một VTCP.
Đường thẳng ${{d}_{1}}$ có một VTCP là $\overrightarrow{u}=\left( 1;4;-2 \right)$
Ta có:
$d\bot {{d}_{1}}\Leftrightarrow \overrightarrow{AM}.\overrightarrow{u}=0\Leftrightarrow \left( t+1 \right)-4t-2\left( t-2 \right)=0\Leftrightarrow t=1\Rightarrow \overrightarrow{AM}=\left( 2;-1;-1 \right)$.
Đường thẳng d đi qua $A\left( 1;-1;3 \right)$ và nhận $\overrightarrow{AM}=\left( 2;-1;-1 \right)$ là một VTCP
$\Rightarrow d:\dfrac{x-1}{2}=\dfrac{y+1}{-1}=\dfrac{z-3}{-1}$.
Đáp án C.