Google
Câu hỏi: Trong không gian Oxyz, cho điểm $A\left( 1;1;-2 \right)$ thuộc mặt cầu $\left( S \right):{{x}^{2}}+{{\left( y+1 \right)}^{2}}+{{z}^{2}}=9$. Từ điểm A kẻ 3 dây cung AB, AC, AD của mặt cầu (S) có độ dài bằng nhau và đôi một tạo với nhau góc 60°. Mặt phẳng $\left( BCD \right)$ có phương trình là $x+by+cz+d=0$. Khi đó $b+c+d$ bằng
A. 5
B. 6
C. 3
D. 1
Ta có $AB=AC=AD$ và đôi một tạo với nhau góc 60° nên tứ diện ABCD đều. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của AB và CD thì trọng tâm tứ diện ABCD là trung điểm của MN và cũng là tâm mặt cầu ngoại tiếp tứ diện ABCD ta có $I\left( 0;-1;0 \right)$
Gọi G là trọng tâm tam giác BCD và dựng $MK//AG$ (hình vẽ)
Ta có: $MK=2GI$ và $AG=2MK$ (tính chất đường trung bình)
Suy ra $AG=4IG\Rightarrow \overrightarrow{AG}=4\overrightarrow{IG}\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& {{x}_{G}}-1=4\left( {{x}_{G}}-0 \right) \\
& {{y}_{G}}-1=4\left( {{y}_{G}}+1 \right) \\
& {{z}_{G}}+2=4\left( {{z}_{G}}-0 \right) \\
\end{aligned} \right.$
$\Rightarrow G\left( -\dfrac{1}{3};-\dfrac{5}{3};\dfrac{2}{3} \right)\Rightarrow \left( BCD \right)$ qua G và có VTPT là $\overrightarrow{n}=\overrightarrow{AI}\left( -1;-2;2 \right)=-\left( 1;2;-2 \right)$
$\Rightarrow \left( BCD \right):x+2y-2z+5=0$ suy ra $b=2, c=-2, d=5\Rightarrow b+c+d=5$.
A. 5
B. 6
C. 3
D. 1
Ta có $AB=AC=AD$ và đôi một tạo với nhau góc 60° nên tứ diện ABCD đều. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của AB và CD thì trọng tâm tứ diện ABCD là trung điểm của MN và cũng là tâm mặt cầu ngoại tiếp tứ diện ABCD ta có $I\left( 0;-1;0 \right)$
Gọi G là trọng tâm tam giác BCD và dựng $MK//AG$ (hình vẽ)
Ta có: $MK=2GI$ và $AG=2MK$ (tính chất đường trung bình)
Suy ra $AG=4IG\Rightarrow \overrightarrow{AG}=4\overrightarrow{IG}\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& {{x}_{G}}-1=4\left( {{x}_{G}}-0 \right) \\
& {{y}_{G}}-1=4\left( {{y}_{G}}+1 \right) \\
& {{z}_{G}}+2=4\left( {{z}_{G}}-0 \right) \\
\end{aligned} \right.$
$\Rightarrow G\left( -\dfrac{1}{3};-\dfrac{5}{3};\dfrac{2}{3} \right)\Rightarrow \left( BCD \right)$ qua G và có VTPT là $\overrightarrow{n}=\overrightarrow{AI}\left( -1;-2;2 \right)=-\left( 1;2;-2 \right)$
$\Rightarrow \left( BCD \right):x+2y-2z+5=0$ suy ra $b=2, c=-2, d=5\Rightarrow b+c+d=5$.
Đáp án A.