Google
Câu hỏi: Trong không gian $Oxyz$, cho điểm $A\left( 1;1;1 \right)$, mặt phẳng $\left( P \right):x+y+z-3=0$ và đường thẳng $d:\dfrac{x-2}{1}=\dfrac{y}{2}=\dfrac{z}{-1}$. Xét đường thẳng $\Delta $ qua $A$, nằm trong $\left( P \right)$ và cách đường thẳng $d$ một khoảng cách lớn nhất. Đường thẳng $\Delta $ đi qua điểm nào dưới đây?
A. $M\left( 2 ; 1; 0 \right)$.
B. $N\left( 1;-1;3 \right)$.
C. $P\left( -3; 3; 3 \right)$.
D. $Q\left( 1; 2; 4 \right)$.
Gọi $H\left( x ; y; z \right)$ là hình chiếu vuông góc của $A$ trên $d$.
$\Rightarrow \left\{ \begin{aligned}
& H\in d \\
& \overrightarrow{AH}.\overrightarrow{{{u}_{d}}}=0 \\
\end{aligned} \right.$$\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& \dfrac{x-2}{1}=\dfrac{y}{2}=\dfrac{z}{-1} \\
& 1\left( x-1 \right)+2\left( y-1 \right)-1\left( z-1 \right)=0 \\
\end{aligned} \right.$$\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& x=2 \\
& y=0 \\
& z=0 \\
\end{aligned} \right.\Rightarrow H\left( 2;0;0 \right)$.
Khi đó $d\left( \Delta ,d \right)\le AH=\sqrt{3}$.
Dấu bằng xảy ra $\Leftrightarrow $ $\Delta \bot AH$.
Ta có $\left\{ \begin{aligned}
& \Delta \bot AH \\
& \Delta \subset \left( P \right) \\
\end{aligned} \right. $ $ \Rightarrow \left\{ \begin{aligned}
& \overrightarrow{{{u}_{\Delta }}}\bot \overrightarrow{AH} \\
& \overrightarrow{{{u}_{\Delta }}}\bot \overrightarrow{{{n}_{P}}} \\
\end{aligned} \right. $ $ \Rightarrow $ VTCP của $ \Delta $ là $ \overrightarrow{{{u}_{\Delta }}}=\left[ \overrightarrow{AH},\overrightarrow{{{n}_{P}}} \right]=\left( 0;-2;2 \right)$.
Suy ra phương trình của $\Delta :\left\{ \begin{aligned}
& x=1 \\
& y=1-2t \\
& z=1+2t \\
\end{aligned} \right., \left( t\in \mathbb{R} \right) $. Ta thấy $ \Delta $ đi qua điểm $ N\left( 1;-1;3 \right)$.
A. $M\left( 2 ; 1; 0 \right)$.
B. $N\left( 1;-1;3 \right)$.
C. $P\left( -3; 3; 3 \right)$.
D. $Q\left( 1; 2; 4 \right)$.
$\Rightarrow \left\{ \begin{aligned}
& H\in d \\
& \overrightarrow{AH}.\overrightarrow{{{u}_{d}}}=0 \\
\end{aligned} \right.$$\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& \dfrac{x-2}{1}=\dfrac{y}{2}=\dfrac{z}{-1} \\
& 1\left( x-1 \right)+2\left( y-1 \right)-1\left( z-1 \right)=0 \\
\end{aligned} \right.$$\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& x=2 \\
& y=0 \\
& z=0 \\
\end{aligned} \right.\Rightarrow H\left( 2;0;0 \right)$.
Khi đó $d\left( \Delta ,d \right)\le AH=\sqrt{3}$.
Dấu bằng xảy ra $\Leftrightarrow $ $\Delta \bot AH$.
Ta có $\left\{ \begin{aligned}
& \Delta \bot AH \\
& \Delta \subset \left( P \right) \\
\end{aligned} \right. $ $ \Rightarrow \left\{ \begin{aligned}
& \overrightarrow{{{u}_{\Delta }}}\bot \overrightarrow{AH} \\
& \overrightarrow{{{u}_{\Delta }}}\bot \overrightarrow{{{n}_{P}}} \\
\end{aligned} \right. $ $ \Rightarrow $ VTCP của $ \Delta $ là $ \overrightarrow{{{u}_{\Delta }}}=\left[ \overrightarrow{AH},\overrightarrow{{{n}_{P}}} \right]=\left( 0;-2;2 \right)$.
Suy ra phương trình của $\Delta :\left\{ \begin{aligned}
& x=1 \\
& y=1-2t \\
& z=1+2t \\
\end{aligned} \right., \left( t\in \mathbb{R} \right) $. Ta thấy $ \Delta $ đi qua điểm $ N\left( 1;-1;3 \right)$.
Đáp án B.