Trong không gian $O x y z$ , cho điểm $A\left( 1;0;2 \right), B\left(...

The Professor · 15/12/21

Câu hỏi: Trong không gian

O x y z

, cho điểm

A (1; 0; 2), B (- 2; 0; 5), C (0; - 1; 7)

. Trên đường thẳng d vuông góc với mặt phẳng

(A B C)

tại

A

lấy một điểm

S

. Gọi

H, K

lần lượt là hình chiếu vuông góc của

A

lên

S B, S C

. Biết khi

S

di động trên

d (S \neq A)

thì đường thẳng

H K

luôn đi qua một điểm cố định

D

. Tính độ dài đoạn thẳng

A D

.
A.

A D = 3 \sqrt{3} .

B.

A D = 6 \sqrt{2} .

C.

A D = 3 \sqrt{6} .

D.

A D = 6 \sqrt{3} .

Ta có:

A B^{2} = 8, B C^{2} = 9, C A^{2} = 27 \Rightarrow A B^{2} + B C^{2} = C A^{2}

Do đó

Δ A B C

vuông tại B suy ra

B C ⊥ (S A B)

Nên

{\begin{aligned} A H ⊥ S B \\ A H ⊥ B C \end{aligned} \Rightarrow A H ⊥ (S B C) \Rightarrow A H ⊥ S C \Rightarrow S C ⊥ (A H K)

Gọi

D = (A H K) \cap B C,

ta có

{\begin{aligned} A D ⊥ S C \\ A D ⊥ S A \end{aligned} \Rightarrow A D ⊥ (S A C) \Rightarrow A D ⊥ A C

Do đó D cố định và

A D = A C = \tan A C B = A C . \frac{A B}{B C} = 3 \sqrt{3} . \frac{3 \sqrt{2}}{3} = 3 \sqrt{6} .

Đáp án C.

Trong không gian Oxyz, cho điểm $A\left( 1;0;2 \right), B\left(...