Google
Câu hỏi: Trong không gian $Oxyz$, cho điểm $A\left( 1;0;2 \right), B\left( -2;0;5 \right), C\left( 0;-1;7 \right)$. Trên đường thẳng d vuông góc với mặt phẳng $(ABC)$ tại $A$ lấy một điểm $S$. Gọi $H,K$ lần lượt là hình chiếu vuông góc của $A$ lên $SB,SC$. Biết khi $S$ di động trên $d \left( S\ne A \right)$ thì đường thẳng $HK$ luôn đi qua một điểm cố định $D$. Tính độ dài đoạn thẳng $AD$.
A. $AD=3\sqrt{3}.$
B. $AD=6\sqrt{2}.$
C. $AD=3\sqrt{6}.$
D. $AD=6\sqrt{3}.$
Ta có: $A{{B}^{2}}=8,B{{C}^{2}}=9,C{{A}^{2}}=27\Rightarrow A{{B}^{2}}+B{{C}^{2}}=C{{A}^{2}}$
Do đó $\Delta ABC$ vuông tại B suy ra $BC\bot (SAB)$
Nên $\left\{ \begin{aligned}
& AH\bot SB \\
& AH\bot BC \\
\end{aligned} \right.\Rightarrow AH\bot (SBC)\Rightarrow AH\bot SC\Rightarrow SC\bot (AHK)$
Gọi $D=\left( AHK \right)\cap BC,$ ta có $\left\{ \begin{aligned}
& AD\bot SC \\
& AD\bot SA \\
\end{aligned} \right.\Rightarrow AD\bot (SAC)\Rightarrow AD\bot AC$
Do đó D cố định và
$AD=AC=\tan ACB=AC.\dfrac{AB}{BC}=3\sqrt{3}.\dfrac{3\sqrt{2}}{3}=3\sqrt{6}.$
A. $AD=3\sqrt{3}.$
B. $AD=6\sqrt{2}.$
C. $AD=3\sqrt{6}.$
D. $AD=6\sqrt{3}.$
Ta có: $A{{B}^{2}}=8,B{{C}^{2}}=9,C{{A}^{2}}=27\Rightarrow A{{B}^{2}}+B{{C}^{2}}=C{{A}^{2}}$
Do đó $\Delta ABC$ vuông tại B suy ra $BC\bot (SAB)$
Nên $\left\{ \begin{aligned}
& AH\bot SB \\
& AH\bot BC \\
\end{aligned} \right.\Rightarrow AH\bot (SBC)\Rightarrow AH\bot SC\Rightarrow SC\bot (AHK)$
Gọi $D=\left( AHK \right)\cap BC,$ ta có $\left\{ \begin{aligned}
& AD\bot SC \\
& AD\bot SA \\
\end{aligned} \right.\Rightarrow AD\bot (SAC)\Rightarrow AD\bot AC$
Do đó D cố định và
$AD=AC=\tan ACB=AC.\dfrac{AB}{BC}=3\sqrt{3}.\dfrac{3\sqrt{2}}{3}=3\sqrt{6}.$
Đáp án C.