Trong không gian Oxyz, cho điểm $A\left( 0; 4; -3 \right)$. Xét...

Vì d thay đổi, song song với trục Oz và cách trục Oz một khoảng bằng 3 nên d là đường sinh của hình trụ có trục là Oz và có bán kính đáy $r=3$.
Gọi A' là hình chiếu của A lên trục Oz $\Rightarrow {A}'\left( 0; 0; -3 \right)$ và $A{A}'=4$.
Gọi $H\left( x; y; z \right)$ là hình chiếu của A lên d. AH lớn nhất khi A, A', H thẳng hàng và $AH=A{A}'+{A}'H=A{A}'+r=4+3=7$. Khi đó $\overrightarrow{AH}=\dfrac{7}{4}\overrightarrow{A{A}'}$
$\Leftrightarrow \left( x; y-4; z+3 \right)=\dfrac{7}{4}\left( 0; -4; 0 \right)\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& x=0 \\
& y=-3 \\
& z=-3 \\
\end{aligned} \right.\Rightarrow H\left( 0; -3; -3 \right) $. Vậy d qua $ H\left( 0; -3; -3 \right) $ có vectơ chỉ phương $ \overrightarrow{k}=\left( 0; 0; 1 \right) $ nên có phương trình $ \left\{ \begin{aligned}
& x=0 \\
& y=-3 \\
& z=-3+t \\
\end{aligned} \right. $, suy ra d đi qua điểm $ M\left( 0; -3; -5 \right)$