Google
Câu hỏi: Trong không gian $Oxyz,$ cho điểm $A\left( 0;-1;-6 \right)$ và đường thẳng $d:\dfrac{x-4}{2}=\dfrac{y-2}{1}=\dfrac{z+11}{-6}.$ Gọi $\left( P \right)$ là mặt phẳng chứa đường thẳng $d$ sao cho khoảng cách từ $A$ đến mặt phẳng $\left( P \right)$ lớn nhất. Khoảng cách từ điểm $M\left( 5;1;1 \right)$ đến mặt phẳng $\left( P \right)$ bằng
A. 2.
B. 1.
C. 4.
D. 8.
A. 2.
B. 1.
C. 4.
D. 8.
Phương trình mặt phẳng $\left( Q \right)$ đi qua $A$ vuông góc với đường thẳng $d$ là:
$2\left( x-0 \right)+1\left( y+1 \right)-6\left( z+6 \right)=0\Leftrightarrow 2x+y-6z-35=0.$
Phương trình tham số của $d:\left\{ \begin{aligned}
& x=4+2t \\
& y=2+t \\
& z=-11-6t \\
\end{aligned} \right.. $ Thay vào phương trình mặt phẳng $ \left( Q \right)$ ta được:
$2\left( 4+2t \right)+\left( 2+t \right)-6\left( -11-6t \right)-35=0\Leftrightarrow 41t=-41\Leftrightarrow t=-1.$
Vậy tọa độ hình chiếu của $A$ trên $d$ là $B\left( 2;1;-5 \right)\Rightarrow \overrightarrow{AB}\left( 2;2;1 \right).$
Gọi $H$ là hình chiếu của $A$ trên $\left( P \right),$ khi đó $AH\le AB$. Khoảng cách lớn nhất từ $A$ đến mặt phẳng $\left( P \right)$ bằng $AB,$ hay $\overrightarrow{AB}$ là một véc tơ phép tuyến của mặt phẳng $\left( P \right).$
Vậy phương trình mặt phẳng $\left( P \right)$ là:
$2\left( x-2 \right)+2\left( y-1 \right)+1\left( z+5 \right)=0\Leftrightarrow 2x+2y+z-1=0.$
$d\left( M,\left( P \right) \right)=\dfrac{\left| 2.5+2.1+1.1-1 \right|}{\sqrt{{{2}^{2}}+{{2}^{2}}+{{1}^{2}}}}=4.$
$2\left( x-0 \right)+1\left( y+1 \right)-6\left( z+6 \right)=0\Leftrightarrow 2x+y-6z-35=0.$
Phương trình tham số của $d:\left\{ \begin{aligned}
& x=4+2t \\
& y=2+t \\
& z=-11-6t \\
\end{aligned} \right.. $ Thay vào phương trình mặt phẳng $ \left( Q \right)$ ta được:
$2\left( 4+2t \right)+\left( 2+t \right)-6\left( -11-6t \right)-35=0\Leftrightarrow 41t=-41\Leftrightarrow t=-1.$
Vậy tọa độ hình chiếu của $A$ trên $d$ là $B\left( 2;1;-5 \right)\Rightarrow \overrightarrow{AB}\left( 2;2;1 \right).$
Gọi $H$ là hình chiếu của $A$ trên $\left( P \right),$ khi đó $AH\le AB$. Khoảng cách lớn nhất từ $A$ đến mặt phẳng $\left( P \right)$ bằng $AB,$ hay $\overrightarrow{AB}$ là một véc tơ phép tuyến của mặt phẳng $\left( P \right).$
Vậy phương trình mặt phẳng $\left( P \right)$ là:
$2\left( x-2 \right)+2\left( y-1 \right)+1\left( z+5 \right)=0\Leftrightarrow 2x+2y+z-1=0.$
$d\left( M,\left( P \right) \right)=\dfrac{\left| 2.5+2.1+1.1-1 \right|}{\sqrt{{{2}^{2}}+{{2}^{2}}+{{1}^{2}}}}=4.$
Đáp án C.