Google
Câu hỏi: Trong không gian Oxyz, cho điểm $A\left( 0;0;6 \right)$, điểm M nằm trên mặt phẳng $\left( Oxy \right)$ và $M\ne O$. Gọi D là hình chiếu vuông góc của O lên AM và E là trung điểm của OM. Biết đường thẳng DE luôn tiếp xúc với một mặt cầu cố định. Bán kính mặt cầu đó là
A. $R=2$
B. $R=1$
C. $R=3$
D. $R=\sqrt{2}$
A. $R=2$
B. $R=1$
C. $R=3$
D. $R=\sqrt{2}$
Ta có $OA=6$.
Tam giác OAM luôn vuông tại O. Gọi I là trung điểm của OA (điểm I cố định).
Ta có tam giác ADO vuông tại D có ID là đường trung tuyến nên $ID=\dfrac{1}{2}OA=3$.(1)
Ta có IE là đường trung bình của tam giác OAM nên IE song song với AM.
Mặt khác $O\text{D}\bot AM\Rightarrow O\text{D}\bot IE$.
Lại có tam giác EOD cân tại E. Từ đó suy ra IE là đường trung trực của OD.
Do đó $\widehat{DOE}=\widehat{O\text{D}E},\widehat{I\text{OD}}=\widehat{I\text{D}O}\Rightarrow \widehat{I\text{D}E}=\widehat{I\text{O}E}=90{}^\circ \Rightarrow I\text{D}\bot \text{D}E$.(2)
Từ (1) và (2), suy ra DE luôn tiếp xúc với mặt cầu tâm I bán kính $R=\dfrac{OA}{2}=3$.
Tam giác OAM luôn vuông tại O. Gọi I là trung điểm của OA (điểm I cố định).
Ta có tam giác ADO vuông tại D có ID là đường trung tuyến nên $ID=\dfrac{1}{2}OA=3$.(1)
Ta có IE là đường trung bình của tam giác OAM nên IE song song với AM.
Mặt khác $O\text{D}\bot AM\Rightarrow O\text{D}\bot IE$.
Lại có tam giác EOD cân tại E. Từ đó suy ra IE là đường trung trực của OD.
Do đó $\widehat{DOE}=\widehat{O\text{D}E},\widehat{I\text{OD}}=\widehat{I\text{D}O}\Rightarrow \widehat{I\text{D}E}=\widehat{I\text{O}E}=90{}^\circ \Rightarrow I\text{D}\bot \text{D}E$.(2)
Từ (1) và (2), suy ra DE luôn tiếp xúc với mặt cầu tâm I bán kính $R=\dfrac{OA}{2}=3$.
Đáp án C.