Google
Câu hỏi: Trong không gian $Oxyz,$ cho điểm $A(1 ; -1 ; 3)$ và hai đường thẳng ${{d}_{1}}:\dfrac{x-4}{1}=\dfrac{y+2}{4}=\dfrac{z-1}{-2},$ ${{d}_{2}}:\dfrac{x-2}{1}=\dfrac{y+1}{-1}=\dfrac{z-1}{1}$. Viết phương trình đường thẳng $d$ đi qua $A$,vuông góc với đường thẳng ${{d}_{1}}$ và cắt đường thẳng ${{d}_{2}}$.
A. $\dfrac{x-1}{2}=\dfrac{y+1}{-1}=\dfrac{z-3}{-1}$.
B. $\dfrac{x-1}{6}=\dfrac{y+1}{1}=\dfrac{z-3}{5}$.
C. $\dfrac{x-1}{6}=\dfrac{y+1}{-4}=\dfrac{z-3}{-1}$.
D. $\dfrac{x-1}{2}=\dfrac{y+1}{1}=\dfrac{z-3}{3}$.
A. $\dfrac{x-1}{2}=\dfrac{y+1}{-1}=\dfrac{z-3}{-1}$.
B. $\dfrac{x-1}{6}=\dfrac{y+1}{1}=\dfrac{z-3}{5}$.
C. $\dfrac{x-1}{6}=\dfrac{y+1}{-4}=\dfrac{z-3}{-1}$.
D. $\dfrac{x-1}{2}=\dfrac{y+1}{1}=\dfrac{z-3}{3}$.
Ta có ${{\vec{u}}_{{{d}_{1}}}}=\left( 1;4;-2 \right)$ là vectơ chỉ phương của ${{d}_{1}}.$
Gọi $M=d\cap {{d}_{2}}$ $\Rightarrow M\left( 2+t ; -1-t ; 1+t \right)$ $\Rightarrow \overrightarrow{AM}=\left( 1+t ; -t ; t-2 \right).$
Theo đề bài $d$ vuông góc ${{d}_{1}}\Rightarrow $ ${{\vec{u}}_{{{d}_{1}}}}.\overrightarrow{AM}=0\Leftrightarrow 1.\left( 1+t \right)+4\left( -t \right)-2\left( t-2 \right)=0\Leftrightarrow t=1.$
$\Rightarrow {{\vec{u}}_{d}}=\overrightarrow{AM}=\left( 2 ; -1 ; -1 \right)$ là vectơ chỉ phương của $d.$
Vậy phương trình đường thẳng $d$ : $\dfrac{x-1}{2}=\dfrac{y+1}{-1}=\dfrac{z-3}{-1}.$
Gọi $M=d\cap {{d}_{2}}$ $\Rightarrow M\left( 2+t ; -1-t ; 1+t \right)$ $\Rightarrow \overrightarrow{AM}=\left( 1+t ; -t ; t-2 \right).$
Theo đề bài $d$ vuông góc ${{d}_{1}}\Rightarrow $ ${{\vec{u}}_{{{d}_{1}}}}.\overrightarrow{AM}=0\Leftrightarrow 1.\left( 1+t \right)+4\left( -t \right)-2\left( t-2 \right)=0\Leftrightarrow t=1.$
$\Rightarrow {{\vec{u}}_{d}}=\overrightarrow{AM}=\left( 2 ; -1 ; -1 \right)$ là vectơ chỉ phương của $d.$
Vậy phương trình đường thẳng $d$ : $\dfrac{x-1}{2}=\dfrac{y+1}{-1}=\dfrac{z-3}{-1}.$
Đáp án A.