Google
Câu hỏi: Trong không gian $Oxyz$ Cho $d : \dfrac{x-4}{2}=\dfrac{y-5}{-1}=\dfrac{z-3}{2}$ và hai điểm $A\left( 3; 1; 2 \right); B\left( -1; 3;-2 \right)$ Mặt cầu tâm $I$ bán kính $R$ đi qua hai điểm hai điểm $A, B$ và tiếp xúc với đường thẳng $D.$ Khi $R$ đạt giá trị nhỏ nhất thì mặt phẳng đi qua ba điểm $A, B, I$ là $\left( P \right): 2x+by+c\text{z}+d=0.$ Tính $d+b-C.$
A. $0$.
B. $1$.
C. $-1$.
D. $2$.
A. $0$.
B. $1$.
C. $-1$.
D. $2$.
Gọi $E$ là trung điểm của $AB\Rightarrow E\left( 1;2;0 \right)$ và $IE=\sqrt{{{R}^{2}}-9}$
Mặt phẳng trung trực của đoạn thẳng $AB$ là $\left( \alpha \right) : 2x-y+2z=0$
Gọi $H$ là hình chiếu vuông góc của $I$ lên $d.$
Gọi $M$ là hình chiếu vuông góc của $E$ lên $d\Rightarrow EM={{d}_{\left( E;d \right)}}=9$
Toạ độ $M$ là nghiệm hệ $\left\{ \begin{aligned}
& x=2t+4 \\
& y=-t+5 \\
& z=2t+3 \\
& 2x-y+2\text{z}=0 \\
\end{aligned} \right.\Rightarrow t=-1\Rightarrow M\left( 2;6;1 \right)\Rightarrow ME=3\sqrt{2}$
Vì $\left( \alpha \right)\bot d$ và $IH+IE\ge EM\Rightarrow R$ nhỏ nhất $\Leftrightarrow I,H,E$ thẳng hàng.
$\Rightarrow R+\sqrt{{{R}^{2}}-9}=3\sqrt{2}\Rightarrow R=\dfrac{9\sqrt{2}}{4}$
Vậy $\Rightarrow \overrightarrow{EI}=\dfrac{1}{4}\overrightarrow{EH}\Rightarrow I\left( \dfrac{5}{4};3;\dfrac{1}{4} \right)\Rightarrow \overrightarrow{IA}=\left( \dfrac{7}{4};-2;\dfrac{7}{4} \right)$
$\Rightarrow \overrightarrow{n}=\left[ \overrightarrow{AB};\overrightarrow{IA} \right]=\left( -18;0;18 \right)=-18\left( 1;0;-1 \right)$
$\left( P \right): 2x-2\text{z-2}=0\Rightarrow b=0;c=-2;d=-2\Rightarrow d+b-c=0$.
Mặt phẳng trung trực của đoạn thẳng $AB$ là $\left( \alpha \right) : 2x-y+2z=0$
Gọi $H$ là hình chiếu vuông góc của $I$ lên $d.$
Gọi $M$ là hình chiếu vuông góc của $E$ lên $d\Rightarrow EM={{d}_{\left( E;d \right)}}=9$
Toạ độ $M$ là nghiệm hệ $\left\{ \begin{aligned}
& x=2t+4 \\
& y=-t+5 \\
& z=2t+3 \\
& 2x-y+2\text{z}=0 \\
\end{aligned} \right.\Rightarrow t=-1\Rightarrow M\left( 2;6;1 \right)\Rightarrow ME=3\sqrt{2}$
Vì $\left( \alpha \right)\bot d$ và $IH+IE\ge EM\Rightarrow R$ nhỏ nhất $\Leftrightarrow I,H,E$ thẳng hàng.
$\Rightarrow R+\sqrt{{{R}^{2}}-9}=3\sqrt{2}\Rightarrow R=\dfrac{9\sqrt{2}}{4}$
Vậy $\Rightarrow \overrightarrow{EI}=\dfrac{1}{4}\overrightarrow{EH}\Rightarrow I\left( \dfrac{5}{4};3;\dfrac{1}{4} \right)\Rightarrow \overrightarrow{IA}=\left( \dfrac{7}{4};-2;\dfrac{7}{4} \right)$
$\Rightarrow \overrightarrow{n}=\left[ \overrightarrow{AB};\overrightarrow{IA} \right]=\left( -18;0;18 \right)=-18\left( 1;0;-1 \right)$
$\left( P \right): 2x-2\text{z-2}=0\Rightarrow b=0;c=-2;d=-2\Rightarrow d+b-c=0$.
Đáp án A.