Trong không gian $Oxyz$ Cho $d ...

Gọi $E$ là trung điểm của $AB\Rightarrow E(1;2;0)$ và $IE=\sqrt{R^2-9}$
Mặt phẳng trung trực của đoạn thẳng $AB$ là $\left(\alpha \right):2x-y+2z=0$
Gọi $H$ là hình chiếu vuông góc của $I$ lên $d.$
Gọi $M$ là hình chiếu vuông góc của $E$ lên $d\Rightarrow EM=d_{(E;d)}=9$
Toạ độ $M$ là nghiệm hệ $\{\begin{array}{rl}& x=2t+4\\ & y=-t+5\\ & z=2t+3\\ & 2x-y+2\text{z}=0\end{array}\Rightarrow t=-1\Rightarrow M(2;6;1)\Rightarrow ME=3\sqrt{2}$

Vì $\left(\alpha \right)\mathrm{\perp }d$ và $IH+IE\ge EM\Rightarrow R$ nhỏ nhất $\iff I,H,E$ thẳng hàng.
$\Rightarrow R+\sqrt{R^2-9}=3\sqrt{2}\Rightarrow R={\displaystyle \frac{9\sqrt{2}}{4}}$
Vậy $\Rightarrow \overrightarrow{EI}={\displaystyle \frac{1}{4}}\overrightarrow{EH}\Rightarrow I({\displaystyle \frac{5}{4}};3;{\displaystyle \frac{1}{4}})\Rightarrow \overrightarrow{IA}=({\displaystyle \frac{7}{4}};-2;{\displaystyle \frac{7}{4}})$
$\Rightarrow \overrightarrow{n}=[\overrightarrow{AB};\overrightarrow{IA}]=(-18;0;18)=-18(1;0;-1)$
$\left(P\right):2x-2\text{z-2}=0\Rightarrow b=0;c=-2;d=-2\Rightarrow d+b-c=0$.