Google
Câu hỏi: Trong không gian $Oxyz$, cho các mặt phẳng $\left( P \right):x-y+2z+1=0$, $\left( Q \right):2x+y+z-1=0$. Gọi $\left( S \right)$ là mặt cầu có tâm thuộc trục hoành, đồng thời $\left( S \right)$ cắt mặt phẳng $\left( P \right)$ theo giao tuyến là một đường tròn có bán kính $2$ và $\left( S \right)$ cắt mặt phẳng $\left( Q \right)$ theo giao tuyến là một đường tròn có bán kính $r$. Xác định $r$ sao cho chỉ có đúng một mặt cầu $\left( S \right)$ thỏa mãn yêu cầu.
A. $r=\sqrt{3}$.
B. $r=\sqrt{2}$.
C. $r=\sqrt{\dfrac{3}{2}}$.
D. $r=\dfrac{3\sqrt{2}}{2}$.
A. $r=\sqrt{3}$.
B. $r=\sqrt{2}$.
C. $r=\sqrt{\dfrac{3}{2}}$.
D. $r=\dfrac{3\sqrt{2}}{2}$.
* Gọi $I$ là tâm của mặt cầu $\left( S \right)$. Do $I\in Ox$ nên ta có $I\left( a;0;0 \right)$.
* Do $\left( S \right)$ cắt mặt phẳng $\left( P \right)$ theo giao tuyến là một đường tròn có bán kính $2$ nên ta có:
$4={{R}^{2}}-{{\left[ d\left( I;\left( P \right) \right) \right]}^{2}}\Leftrightarrow 4={{R}^{2}}-\dfrac{{{\left( a+1 \right)}^{2}}}{6}\Rightarrow {{R}^{2}}=4+\dfrac{{{\left( a+1 \right)}^{2}}}{6}\text{ }\left( 1 \right)$
* Do $\left( S \right)$ cắt mặt phẳng $\left( Q \right)$ theo giao tuyến là một đường tròn có bán kính $r$ nên ta có:
${{r}^{2}}={{R}^{2}}-{{\left[ d\left( I;\left( P \right) \right) \right]}^{2}}\Leftrightarrow {{r}^{2}}={{R}^{2}}-\dfrac{{{\left( 2a-1 \right)}^{2}}}{6}\text{ }\left( 2 \right)$
* Từ $\left( 1 \right)$ và $\left( 2 \right)$ ta có:
${{r}^{2}}=4+\dfrac{{{\left( a+1 \right)}^{2}}}{6}-\dfrac{{{\left( 2a-1 \right)}^{2}}}{6}\Leftrightarrow -3{{a}^{2}}+6a+24-6{{r}^{2}}=0\Leftrightarrow -{{a}^{2}}+2a+8-2{{r}^{2}}=0\text{ }\left( 3 \right)$
* Để có duy nhất một mặt cầu $\left( S \right)$ thỏa mãn yêu cầu điều kiện là phương trình $\left( 3 \right)$ có duy nhất một nghiệm $a$ với $r>0$ nên điều kiện là:
${\Delta }'=9-2{{r}^{2}}=0\Leftrightarrow r=\dfrac{3\sqrt{2}}{2}$.
* Do $\left( S \right)$ cắt mặt phẳng $\left( P \right)$ theo giao tuyến là một đường tròn có bán kính $2$ nên ta có:
$4={{R}^{2}}-{{\left[ d\left( I;\left( P \right) \right) \right]}^{2}}\Leftrightarrow 4={{R}^{2}}-\dfrac{{{\left( a+1 \right)}^{2}}}{6}\Rightarrow {{R}^{2}}=4+\dfrac{{{\left( a+1 \right)}^{2}}}{6}\text{ }\left( 1 \right)$
* Do $\left( S \right)$ cắt mặt phẳng $\left( Q \right)$ theo giao tuyến là một đường tròn có bán kính $r$ nên ta có:
${{r}^{2}}={{R}^{2}}-{{\left[ d\left( I;\left( P \right) \right) \right]}^{2}}\Leftrightarrow {{r}^{2}}={{R}^{2}}-\dfrac{{{\left( 2a-1 \right)}^{2}}}{6}\text{ }\left( 2 \right)$
* Từ $\left( 1 \right)$ và $\left( 2 \right)$ ta có:
${{r}^{2}}=4+\dfrac{{{\left( a+1 \right)}^{2}}}{6}-\dfrac{{{\left( 2a-1 \right)}^{2}}}{6}\Leftrightarrow -3{{a}^{2}}+6a+24-6{{r}^{2}}=0\Leftrightarrow -{{a}^{2}}+2a+8-2{{r}^{2}}=0\text{ }\left( 3 \right)$
* Để có duy nhất một mặt cầu $\left( S \right)$ thỏa mãn yêu cầu điều kiện là phương trình $\left( 3 \right)$ có duy nhất một nghiệm $a$ với $r>0$ nên điều kiện là:
${\Delta }'=9-2{{r}^{2}}=0\Leftrightarrow r=\dfrac{3\sqrt{2}}{2}$.
Đáp án D.