Google
Câu hỏi: Trong không gian $Oxyz$, cho các điểm $A\left( a;0;0 \right)$, $B\left( 0;b;0 \right)$, $C\left( 0;0;2 \right)$, trong đó $a$, $b$ là các số hữu tỷ dương tùy ý và mặt phẳng $\left( P \right)$ có phương trình $2x-2y+1=0$. Biết rằng $\left( ABC \right)$ vuông góc với $\left( P \right)$ và khoảng cách từ $O$ đến $\left( ABC \right)$ bằng $\dfrac{2}{\sqrt{33}}$. Giá trị của $ab$ bằng:
A. $0$.
B. $4$.
C. $\dfrac{1}{4}$.
D. $1$.
A. $0$.
B. $4$.
C. $\dfrac{1}{4}$.
D. $1$.
Do $\left( ABC \right)$ không đi qua gốc tọa độ nên ta đặt $\left( ABC \right):mx+ny+kz-1=0$.
Do $\left( ABC \right)$ vuông góc với $\left( P \right)$ nên $\overrightarrow{{{n}_{\left( ABC \right)}}}\overrightarrow{{{n}_{\left( P \right)}}}=0\Leftrightarrow 2m-2n=0\Leftrightarrow m=n$ và $C\in \left( ABC \right)$ nên $k=\dfrac{1}{2}$, khi đó $\left( ABC \right):mx+my+\dfrac{1}{2}z-1=0$.
Ta có $d\left( O,\left( ABC \right) \right)=\dfrac{1}{\sqrt{{{m}^{2}}+{{m}^{2}}+\dfrac{1}{4}}}=\dfrac{2}{\sqrt{33}}\Rightarrow \left[ \begin{matrix}
m=2 & \left( n \right) \\
m=-2 & \left( l \right) \\
\end{matrix} \right.$.
$\Rightarrow \left( ABC \right):2x+2y+\dfrac{1}{2}z-1=0\Leftrightarrow \left( ABC \right):\dfrac{x}{\dfrac{1}{2}}+\dfrac{y}{\dfrac{1}{2}}+\dfrac{z}{\dfrac{1}{2}}=1$ $\Rightarrow ab=\dfrac{1}{4}$.
Do $\left( ABC \right)$ vuông góc với $\left( P \right)$ nên $\overrightarrow{{{n}_{\left( ABC \right)}}}\overrightarrow{{{n}_{\left( P \right)}}}=0\Leftrightarrow 2m-2n=0\Leftrightarrow m=n$ và $C\in \left( ABC \right)$ nên $k=\dfrac{1}{2}$, khi đó $\left( ABC \right):mx+my+\dfrac{1}{2}z-1=0$.
Ta có $d\left( O,\left( ABC \right) \right)=\dfrac{1}{\sqrt{{{m}^{2}}+{{m}^{2}}+\dfrac{1}{4}}}=\dfrac{2}{\sqrt{33}}\Rightarrow \left[ \begin{matrix}
m=2 & \left( n \right) \\
m=-2 & \left( l \right) \\
\end{matrix} \right.$.
$\Rightarrow \left( ABC \right):2x+2y+\dfrac{1}{2}z-1=0\Leftrightarrow \left( ABC \right):\dfrac{x}{\dfrac{1}{2}}+\dfrac{y}{\dfrac{1}{2}}+\dfrac{z}{\dfrac{1}{2}}=1$ $\Rightarrow ab=\dfrac{1}{4}$.
Đáp án C.