Google
Câu hỏi: Trong không gian Oxyz, cho các điểm $A\left( 7;2;3 \right)$, $B\left( 1;4;3 \right)$, $C\left( 1;2;6 \right)$ và $D\left( 1;2;3 \right)$. Điểm $M\left( a;b;c \right)$ tùy ý thỏa mãn $MA+MB+MC+\sqrt{3}MD$ đạt giá trị nhỏ nhất. Tính $a+b+c.$
A. 2.
B. 1.
C. 6.
D. 5.
A. 2.
B. 1.
C. 6.
D. 5.
Ta có $\overrightarrow{DA}=\left( 6;0;0 \right),\overrightarrow{DB}=\left( 0;2;0 \right),\overrightarrow{DC}=\left( 0;0;3 \right)$ nên tứ diện ABCD là tứ diện vuông đỉnh D. Gọi $M\left( x+1;y+2;z+3 \right).$
$MA=\sqrt{{{\left( x-6 \right)}^{2}}+{{y}^{2}}+{{z}^{2}}}\ge \left| x-6 \right|\ge 6-x$
$MB=\sqrt{{{x}^{2}}+{{\left( y-2 \right)}^{2}}+{{z}^{2}}}\ge \left| y-2 \right|\ge 2-y$
$MC=\sqrt{{{x}^{2}}+{{y}^{2}}+{{\left( z-3 \right)}^{2}}}\ge \left| z-3 \right|\ge 3-z$
$\sqrt{3}MD=\sqrt{3\left( {{x}^{2}}+{{y}^{2}}+{{z}^{2}} \right)}\ge \sqrt{{{\left( x+y+z \right)}^{2}}}\ge x+y+z$
Do đó $MA+MB+MC+\sqrt{3}MD\ge 11.$
Dấu "=" xảy ra $\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& x=y=z=0 \\
& 6-x\ge 0 \\
& 2-y\ge 0 \\
& 3-z\ge 0 \\
& x+y+z\ge 0 \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow x=y=z=0.$
Khi đó $M\left( 1;2;3 \right)\Rightarrow a+b+c=6.$
$MA=\sqrt{{{\left( x-6 \right)}^{2}}+{{y}^{2}}+{{z}^{2}}}\ge \left| x-6 \right|\ge 6-x$
$MB=\sqrt{{{x}^{2}}+{{\left( y-2 \right)}^{2}}+{{z}^{2}}}\ge \left| y-2 \right|\ge 2-y$
$MC=\sqrt{{{x}^{2}}+{{y}^{2}}+{{\left( z-3 \right)}^{2}}}\ge \left| z-3 \right|\ge 3-z$
$\sqrt{3}MD=\sqrt{3\left( {{x}^{2}}+{{y}^{2}}+{{z}^{2}} \right)}\ge \sqrt{{{\left( x+y+z \right)}^{2}}}\ge x+y+z$
Do đó $MA+MB+MC+\sqrt{3}MD\ge 11.$
Dấu "=" xảy ra $\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& x=y=z=0 \\
& 6-x\ge 0 \\
& 2-y\ge 0 \\
& 3-z\ge 0 \\
& x+y+z\ge 0 \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow x=y=z=0.$
Khi đó $M\left( 1;2;3 \right)\Rightarrow a+b+c=6.$
Đáp án C.