Trong không gian $Oxyz$, cho các điểm $A\left( 5;8;-11 \right)...

Mặt cầu $\left( S \right)$ tâm $E\left( 4;2;-1 \right)$ bán kính $R=3$
Gọi $I\left( x;y;z \right)$ là điểm thỏa mãn $\overrightarrow{IA}-\overrightarrow{IB}-\overrightarrow{IC}=\overrightarrow{0}$ $\left\{ \begin{aligned}
& 5-x-\left( 3-x \right)-\left( 2-x \right)=0 \\
& 8-y-\left( 5-y \right)-\left( 1-y \right)=0 \\
& -11-z-\left( -4-z \right)-\left( -6-z \right)=0 \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& x=0 \\
& y=-2 \\
& z=1 \\
\end{aligned} \right.$
Vậy $I\left( 0;-2;1 \right)$
Ta có: $\left| \overrightarrow{MA}-\overrightarrow{MB}-\overrightarrow{MC} \right|=\left| \overrightarrow{MI}+\overrightarrow{IA}-\overrightarrow{MI}-\overrightarrow{IB}-\overrightarrow{MI}-\overrightarrow{IC} \right|=\left| \overrightarrow{MI} \right|$
Vậy để $\left| \overrightarrow{MA}-\overrightarrow{MB}-\overrightarrow{MC} \right|$ đạt giá trị nhỏ nhất thì $\left| \overrightarrow{MI} \right|$ phải nhỏ nhất $\Rightarrow M\in \left( S \right)\cap IE$
Ta có $\overrightarrow{IE}=\left( 4;4;-2 \right)\Rightarrow \left| \overrightarrow{IE} \right|=6$ nên điểm $E$ nằm ngoài mặt cầu $\left( S \right)$
$IE$ nhận $\overrightarrow{u}\left( 2;2;-1 \right)$ làm VTCP
Phương trình đường thẳng $IE:$ $\left\{ \begin{aligned}
& x=4+2t \\
& y=2+2t \\
& z=-1-t \\
\end{aligned} \right. \left( t\in \mathbb{R} \right) $ Ta có$ M\in IE\Rightarrow M\left( 2t;2+2t;1-t \right)$
Mặt khác $M\in \left( S \right)$ nên ${{\left( 4+2t-4 \right)}^{2}}+{{\left( 2+2t-2 \right)}^{2}}+{{\left( -1-t \right)}^{2}}=9$
$\Leftrightarrow 9{{t}^{2}}=9\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& t=1\Rightarrow M\left( 6;4;-2 \right)\Rightarrow \overrightarrow{MI}=\left( -6;6;3 \right)\Rightarrow \left| \overrightarrow{MI} \right|=9 \\
& t=-1\Rightarrow M\left( 2;0;0 \right)\Rightarrow \overrightarrow{MI}=\left( -2;-2;1 \right)\Rightarrow \left| \overrightarrow{MI} \right|=3 \\
\end{aligned} \right.$
Vậy $M\left( 2;0;0 \right)$ thỏa mãn bài ra. Do đó ${{x}_{M}}+{{y}_{M}}=2$.