Google
Câu hỏi: Trong không gian Oxyz, cho các điểm $A\left( 2;2;2 \right),B\left( 2;4;-6 \right),C\left( 0;-2;-8 \right)$ và mặt phẳng $\left( P \right):x+y+z=0$. Xét các điểm $M\in (P),\overset\frown{AMB}={{90}^{0}}$, đoạn thặng CM có độ dài lớn nhất bằng
A. $2\sqrt{14}$
B. $2\sqrt{17}$
C. 8
D. 9
A. $2\sqrt{14}$
B. $2\sqrt{17}$
C. 8
D. 9
Ta có: $\overset\frown{AMB}=90{}^\circ \Rightarrow $ M thuộc mặt cầu (S) đường kính AB
Suy ra phương trfnh mặt cầu (S) là ${{\left( x-2 \right)}^{2}}+{{\left( y-3 \right)}^{2}}+{{\left( z+2 \right)}^{2}}=17$
Mặt cầu (S) có tâm $I\left( 2;3;-2 \right),R=\sqrt{17}\to d\left[ I;\left( P \right) \right]=\sqrt{3}$
Suy ra M thuộc đường tròn (C) là giao tuyến của mặt cầu (S) và (P)
Gọi r là bán kính đường tròn (C) $\Rightarrow r=\sqrt{{{R}^{2}}-{{d}^{2}}\left[ I;\left( P \right) \right]}=\sqrt{14}$
Gọi H là hình chiếu vuông gốc của C trên (P) $\Rightarrow H\left( 2;4;-6 \right)$
Khi đó $C{{M}^{2}}=C{{H}^{2}}+H{{M}^{2}}$ nên CM lớn nhất $\Leftrightarrow $ HM lớn nhất và bằng $2\sqrt{14}$
Vậy độ dài $C{{M}_{\max }}=\sqrt{C{{H}^{2}}+H{{M}^{2}}}=\sqrt{{{\left( 3\sqrt{2} \right)}^{2}}+{{\left( 2\sqrt{14} \right)}^{2}}}=2\sqrt{17}$.
Suy ra phương trfnh mặt cầu (S) là ${{\left( x-2 \right)}^{2}}+{{\left( y-3 \right)}^{2}}+{{\left( z+2 \right)}^{2}}=17$
Mặt cầu (S) có tâm $I\left( 2;3;-2 \right),R=\sqrt{17}\to d\left[ I;\left( P \right) \right]=\sqrt{3}$
Suy ra M thuộc đường tròn (C) là giao tuyến của mặt cầu (S) và (P)
Gọi r là bán kính đường tròn (C) $\Rightarrow r=\sqrt{{{R}^{2}}-{{d}^{2}}\left[ I;\left( P \right) \right]}=\sqrt{14}$
Gọi H là hình chiếu vuông gốc của C trên (P) $\Rightarrow H\left( 2;4;-6 \right)$
Khi đó $C{{M}^{2}}=C{{H}^{2}}+H{{M}^{2}}$ nên CM lớn nhất $\Leftrightarrow $ HM lớn nhất và bằng $2\sqrt{14}$
Vậy độ dài $C{{M}_{\max }}=\sqrt{C{{H}^{2}}+H{{M}^{2}}}=\sqrt{{{\left( 3\sqrt{2} \right)}^{2}}+{{\left( 2\sqrt{14} \right)}^{2}}}=2\sqrt{17}$.
Đáp án B.