Trong không gian Oxyz, cho các điểm $A\left( 2;2;2 \right),B\left(...

Ta có: $\stackrel{⌢}{AMB}=90{}^{\circ }\Rightarrow$ M thuộc mặt cầu (S) đường kính AB
Suy ra phương trfnh mặt cầu (S) là ${(x-2)}^2+{(y-3)}^2+{(z+2)}^2=17$
Mặt cầu (S) có tâm $I(2;3;-2),R=\sqrt{17}\to d[I;\left(P\right)]=\sqrt{3}$
Suy ra M thuộc đường tròn (C) là giao tuyến của mặt cầu (S) và (P)
Gọi r là bán kính đường tròn (C) $\Rightarrow r=\sqrt{R^2-d^2[I;\left(P\right)]}=\sqrt{14}$
Gọi H là hình chiếu vuông gốc của C trên (P) $\Rightarrow H(2;4;-6)$
Khi đó $C{M}^2=C{H}^2+H{M}^2$ nên CM lớn nhất $\iff$ HM lớn nhất và bằng $2\sqrt{14}$
Vậy độ dài $C{M}_{max}=\sqrt{C{H}^2+H{M}^2}=\sqrt{{\left(3\sqrt{2}\right)}^2+{\left(2\sqrt{14}\right)}^2}=2\sqrt{17}$.