Trong không gian Oxyz, cho các điểm $A\left( 2;1;0 \right),B\left(...

The Knowledge · 13/1/22

Câu hỏi: Trong không gian Oxyz, cho các điểm

A (2; 1; 0), B (0; 4; 0), C (0; 2; - 1) .

Biết đường thẳng vuông góc với mặt phẳng (ABC) và cắt đường thẳng

d : \frac{x - 1}{2} = \frac{y + 1}{1} = \frac{z - 2}{3}

tại điểm

D (a; b; c)

thỏa mãn a > 0 và tứ diện ABCD có thế tích bằng

\frac{17}{6} .

Tổng

a + b + c

bằng
A. 5.
B. 4.
C. 7.
D. 6.

vì

D \in d \Rightarrow D (1 + 2 t; - 1 + t; 2 + 3 t)

Ta có

{\begin{aligned} = (- 2; 3; 0) \\ = (- 2; 1; - 1) \end{aligned} \Rightarrow [;] = (- 3; - 2; 4) \Rightarrow S_{Δ A B C} = \frac{1}{2} | [;] | = \frac{\sqrt{29}}{2}

Phương trình mặt phẳng (ABC) là

3 x + 2 y - 4 z - 8 = 0 \Rightarrow d [D; (A B C)] = \frac{| 4 t + 15 |}{\sqrt{29}}

Suy ra

V_{A B C D} = \frac{1}{3} d [D; (A B C)] . S_{Δ A B C} = \frac{| 4 t + 15 |}{\sqrt{29}} = \frac{17}{6} \Rightarrow [\begin{aligned} t = \frac{1}{2} \\ t = - 8 \end{aligned} \Rightarrow [\begin{aligned} D (2; - \frac{1}{2}; \frac{7}{2}) \\ D (- 15; - 9; - 22) \end{aligned}

Vậy

D (2; - \frac{1}{2}; \frac{7}{2}) \to_{}^{} a + b + c = 2 - \frac{1}{2} + \frac{7}{2} = 5.

Đáp án A.