Google
Câu hỏi: Trong không gian Oxyz, cho các điểm $A\left( 2;1;0 \right),B\left( 0;4;0 \right),C\left( 0;2;-1 \right).$ Biết đường thẳng vuông góc với mặt phẳng (ABC) và cắt đường thẳng $d:\dfrac{x-1}{2}=\dfrac{y+1}{1}=\dfrac{z-2}{3}$ tại điểm $D\left( a;b;c \right)$ thỏa mãn a > 0 và tứ diện ABCD có thế tích bằng $\dfrac{17}{6}.$ Tổng $a+b+c$ bằng
A. 5.
B. 4.
C. 7.
D. 6.
A. 5.
B. 4.
C. 7.
D. 6.
vì $D\in d\Rightarrow D\left( 1+2t;-1+t;2+3t \right)$
Ta có $\left\{ \begin{aligned}
& =\left( -2;3;0 \right) \\
& =\left( -2;1;-1 \right) \\
\end{aligned} \right.\Rightarrow \left[ ; \right]=\left( -3;-2;4 \right)\Rightarrow {{S}_{\Delta ABC}}=\dfrac{1}{2}\left| \left[ ; \right] \right|=\dfrac{\sqrt{29}}{2}$
Phương trình mặt phẳng (ABC) là $3x+2y-4z-8=0\Rightarrow d\left[ D;\left( ABC \right) \right]=\dfrac{\left| 4t+15 \right|}{\sqrt{29}}$
Suy ra ${{V}_{ABCD}}=\dfrac{1}{3}d\left[ D;\left( ABC \right) \right].{{S}_{\Delta ABC}}=\dfrac{\left| 4t+15 \right|}{\sqrt{29}}=\dfrac{17}{6}\Rightarrow \left[ \begin{aligned}
& t=\dfrac{1}{2} \\
& t=-8 \\
\end{aligned} \right.\Rightarrow \left[ \begin{aligned}
& D\left( 2;-\dfrac{1}{2};\dfrac{7}{2} \right) \\
& D\left( -15;-9;-22 \right) \\
\end{aligned} \right.$
Vậy $D\left( 2;-\dfrac{1}{2};\dfrac{7}{2} \right)\xrightarrow[{}]{}a+b+c=2-\dfrac{1}{2}+\dfrac{7}{2}=5.$
Ta có $\left\{ \begin{aligned}
& =\left( -2;3;0 \right) \\
& =\left( -2;1;-1 \right) \\
\end{aligned} \right.\Rightarrow \left[ ; \right]=\left( -3;-2;4 \right)\Rightarrow {{S}_{\Delta ABC}}=\dfrac{1}{2}\left| \left[ ; \right] \right|=\dfrac{\sqrt{29}}{2}$
Phương trình mặt phẳng (ABC) là $3x+2y-4z-8=0\Rightarrow d\left[ D;\left( ABC \right) \right]=\dfrac{\left| 4t+15 \right|}{\sqrt{29}}$
Suy ra ${{V}_{ABCD}}=\dfrac{1}{3}d\left[ D;\left( ABC \right) \right].{{S}_{\Delta ABC}}=\dfrac{\left| 4t+15 \right|}{\sqrt{29}}=\dfrac{17}{6}\Rightarrow \left[ \begin{aligned}
& t=\dfrac{1}{2} \\
& t=-8 \\
\end{aligned} \right.\Rightarrow \left[ \begin{aligned}
& D\left( 2;-\dfrac{1}{2};\dfrac{7}{2} \right) \\
& D\left( -15;-9;-22 \right) \\
\end{aligned} \right.$
Vậy $D\left( 2;-\dfrac{1}{2};\dfrac{7}{2} \right)\xrightarrow[{}]{}a+b+c=2-\dfrac{1}{2}+\dfrac{7}{2}=5.$
Đáp án A.