Google
Câu hỏi: Trong không gian $Oxyz$, cho các điểm $A\left( -1 ; 2 ; 0 \right)$, $B\left( 0 ; 0 ; -2 \right)$, $C\left( 1 ; 0 ; 1 \right)$, $D\left( 2 ; 1 ; -1 \right)$. Hai điểm $M$, $N$ lần lượt trên $BC$ và $BD$ sao cho $2\dfrac{BC}{BM}+3\dfrac{BD}{BN}=10$ và $\dfrac{{{V}_{ABMN}}}{{{V}_{ABCD}}}=\dfrac{6}{25}$. Phương trình mặt phẳng $\left( AMN \right)$ có dạng: $ax+by+cz+32=0$. Tính $S=a-b+c$.
A. $S=98$.
B. $S=26$.
C. $S=97$.
D. $S=27$.
A. $S=98$.
B. $S=26$.
C. $S=97$.
D. $S=27$.
Đặt $x=\dfrac{BM}{BC}$, $y=\dfrac{BN}{BD}$ $\Rightarrow \dfrac{2}{x}+\dfrac{3}{y}=10$.
$\dfrac{{{V}_{ABMN}}}{{{V}_{ABCD}}}=\dfrac{6}{25}$ $\Rightarrow \dfrac{BM}{BC}.\dfrac{BN}{BD}=\dfrac{6}{25}$ $\Rightarrow \dfrac{6}{xy}=25$.
Suy ra $\dfrac{2}{x}$ và $\dfrac{3}{y}$ là nghiệm của phương trình ${{t}^{2}}-10t+25=0$ $\Leftrightarrow t=5$ $\Rightarrow \left\{ \begin{aligned}
& x=\dfrac{2}{5} \\
& y=\dfrac{3}{5} \\
\end{aligned} \right.$.
Khi đó:
$\overrightarrow{BM}=\dfrac{2}{5}\overrightarrow{BC}$ $\Rightarrow M\left( \dfrac{2}{5};0;-\dfrac{4}{5} \right)$ ; $\overrightarrow{BN}=\dfrac{3}{5}\overrightarrow{BD}$ $\Rightarrow N\left( \dfrac{6}{5};\dfrac{3}{5};\dfrac{-7}{5} \right)$.
$\Rightarrow \left\{ \begin{aligned}
& \overrightarrow{AM}=\left( \dfrac{7}{5};-2;\dfrac{-4}{5} \right) \\
& \overrightarrow{AN}=\left( \dfrac{11}{5};\dfrac{-7}{5};\dfrac{-7}{5} \right) \\
\end{aligned} \right.$$\Rightarrow \left[ \overrightarrow{AM};\overrightarrow{AN} \right]=\left( \dfrac{42}{25};\dfrac{5}{25};\dfrac{61}{25} \right)$.
Do đó mặt phẳng $\left( AMN \right)$ nhận vectơ $\vec{n}=\left( 42 ; 5 ; 61 \right)$ làm vectơ pháp tuyến;
$\Rightarrow \left( AMN \right):42x+5y+61z+32=0$.
Vậy $S=42-5+61=98$.
$\dfrac{{{V}_{ABMN}}}{{{V}_{ABCD}}}=\dfrac{6}{25}$ $\Rightarrow \dfrac{BM}{BC}.\dfrac{BN}{BD}=\dfrac{6}{25}$ $\Rightarrow \dfrac{6}{xy}=25$.
Suy ra $\dfrac{2}{x}$ và $\dfrac{3}{y}$ là nghiệm của phương trình ${{t}^{2}}-10t+25=0$ $\Leftrightarrow t=5$ $\Rightarrow \left\{ \begin{aligned}
& x=\dfrac{2}{5} \\
& y=\dfrac{3}{5} \\
\end{aligned} \right.$.
Khi đó:
$\overrightarrow{BM}=\dfrac{2}{5}\overrightarrow{BC}$ $\Rightarrow M\left( \dfrac{2}{5};0;-\dfrac{4}{5} \right)$ ; $\overrightarrow{BN}=\dfrac{3}{5}\overrightarrow{BD}$ $\Rightarrow N\left( \dfrac{6}{5};\dfrac{3}{5};\dfrac{-7}{5} \right)$.
$\Rightarrow \left\{ \begin{aligned}
& \overrightarrow{AM}=\left( \dfrac{7}{5};-2;\dfrac{-4}{5} \right) \\
& \overrightarrow{AN}=\left( \dfrac{11}{5};\dfrac{-7}{5};\dfrac{-7}{5} \right) \\
\end{aligned} \right.$$\Rightarrow \left[ \overrightarrow{AM};\overrightarrow{AN} \right]=\left( \dfrac{42}{25};\dfrac{5}{25};\dfrac{61}{25} \right)$.
Do đó mặt phẳng $\left( AMN \right)$ nhận vectơ $\vec{n}=\left( 42 ; 5 ; 61 \right)$ làm vectơ pháp tuyến;
$\Rightarrow \left( AMN \right):42x+5y+61z+32=0$.
Vậy $S=42-5+61=98$.
Đáp án A.