Google
Câu hỏi: Trong không gian $Oxyz,$ cho các điểm $A\left( 1;1;1 \right),B\left( 0;1;2 \right),C\left( -2;0;1 \right)$ và mặt phẳng $\left( P \right):x-y+z+1=0.$ Gọi điểm $N$ là điểm thuộc $\left( P \right)$ sao cho $S=2N{{A}^{2}}+N{{B}^{2}}+N{{C}^{2}}$ đạt giá trị nhỏ nhất. Độ dài $ON$ bằng
A. $\sqrt{5}$
B. $\dfrac{\sqrt{38}}{4}$
C. $\sqrt{35}$
D. $\dfrac{\sqrt{26}}{2}$
A. $\sqrt{5}$
B. $\dfrac{\sqrt{38}}{4}$
C. $\sqrt{35}$
D. $\dfrac{\sqrt{26}}{2}$
Chọn điểm $I$ sao cho $2\overrightarrow{IA}+\overrightarrow{IB}+\overrightarrow{IC}=\overrightarrow{0}.$
Gọi $I\left( a;b;c \right)$ suy ra:
$\overrightarrow{IA}=\left( 1-a;1-b;1-c \right),\overrightarrow{IB}=\left( -a;1-b;2-c \right),\overrightarrow{IC}=\left( -2-a;-b;1-c \right).$
Do đó: $2\overrightarrow{IA}+\overrightarrow{IB}+\overrightarrow{IC}=\overrightarrow{0}\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& 2\left( 1-a \right)-a-2-a=0 \\
& 2\left( 1-b \right)+1-b-b=0 \\
& 2\left( 1-c \right)+2-c+1-c=0 \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& a=0 \\
& b=\dfrac{3}{4} \\
& c=\dfrac{5}{4} \\
\end{aligned} \right.\Rightarrow I\left( 0;\dfrac{3}{4};\dfrac{5}{4} \right).$
Khi đó: $S=2N{{A}^{2}}+N{{B}^{2}}+N{{C}^{2}}=2{{\left( \overrightarrow{NI}+\overrightarrow{IA} \right)}^{2}}+{{\left( \overrightarrow{NI}+\overrightarrow{IB} \right)}^{2}}+{{\left( \overrightarrow{NI}+\overrightarrow{IC} \right)}^{2}}$
$=4N{{I}^{2}}+I{{A}^{2}}+I{{B}^{2}}+I{{C}^{2}}+2\overrightarrow{NI}\left( 2\overrightarrow{IA}+\overrightarrow{IB}+\overrightarrow{IC} \right)$
$=4N{{I}^{2}}+I{{A}^{2}}+I{{B}^{2}}+I{{C}^{2}}$.
Do $I$ cố định nên $I{{A}^{2}}+I{{B}^{2}}+I{{C}^{2}}$ không đổi.
Do đó để ${{S}_{\min }}\Leftrightarrow NI_{\min }^{2}\Leftrightarrow N{{I}_{\min }}\Leftrightarrow N$ là hình chiếu của $I$ lên $\left( P \right).$
Gọi $\Delta $ là đường thẳng qua $I$ và vuông góc với $\left( P \right)\Rightarrow \left( \Delta \right):\left\{ \begin{aligned}
& x=t \\
& y=\dfrac{3}{4}-t \\
& z=\dfrac{5}{4}+t \\
\end{aligned} \right..$
Suy ra $N=\Delta \cap \left( P \right).$
Xét phương trình $t-\left( \dfrac{3}{4}-t \right)+\dfrac{5}{4}+t+1=0\Leftrightarrow 3t+\dfrac{3}{2}=0\Leftrightarrow t=\dfrac{-1}{2}.$
$\Rightarrow N\left( -\dfrac{1}{2};\dfrac{5}{4};\dfrac{3}{4} \right)\Rightarrow ON=\dfrac{\sqrt{38}}{4}.$
Gọi $I\left( a;b;c \right)$ suy ra:
$\overrightarrow{IA}=\left( 1-a;1-b;1-c \right),\overrightarrow{IB}=\left( -a;1-b;2-c \right),\overrightarrow{IC}=\left( -2-a;-b;1-c \right).$
Do đó: $2\overrightarrow{IA}+\overrightarrow{IB}+\overrightarrow{IC}=\overrightarrow{0}\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& 2\left( 1-a \right)-a-2-a=0 \\
& 2\left( 1-b \right)+1-b-b=0 \\
& 2\left( 1-c \right)+2-c+1-c=0 \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& a=0 \\
& b=\dfrac{3}{4} \\
& c=\dfrac{5}{4} \\
\end{aligned} \right.\Rightarrow I\left( 0;\dfrac{3}{4};\dfrac{5}{4} \right).$
Khi đó: $S=2N{{A}^{2}}+N{{B}^{2}}+N{{C}^{2}}=2{{\left( \overrightarrow{NI}+\overrightarrow{IA} \right)}^{2}}+{{\left( \overrightarrow{NI}+\overrightarrow{IB} \right)}^{2}}+{{\left( \overrightarrow{NI}+\overrightarrow{IC} \right)}^{2}}$
$=4N{{I}^{2}}+I{{A}^{2}}+I{{B}^{2}}+I{{C}^{2}}+2\overrightarrow{NI}\left( 2\overrightarrow{IA}+\overrightarrow{IB}+\overrightarrow{IC} \right)$
$=4N{{I}^{2}}+I{{A}^{2}}+I{{B}^{2}}+I{{C}^{2}}$.
Do $I$ cố định nên $I{{A}^{2}}+I{{B}^{2}}+I{{C}^{2}}$ không đổi.
Do đó để ${{S}_{\min }}\Leftrightarrow NI_{\min }^{2}\Leftrightarrow N{{I}_{\min }}\Leftrightarrow N$ là hình chiếu của $I$ lên $\left( P \right).$
Gọi $\Delta $ là đường thẳng qua $I$ và vuông góc với $\left( P \right)\Rightarrow \left( \Delta \right):\left\{ \begin{aligned}
& x=t \\
& y=\dfrac{3}{4}-t \\
& z=\dfrac{5}{4}+t \\
\end{aligned} \right..$
Suy ra $N=\Delta \cap \left( P \right).$
Xét phương trình $t-\left( \dfrac{3}{4}-t \right)+\dfrac{5}{4}+t+1=0\Leftrightarrow 3t+\dfrac{3}{2}=0\Leftrightarrow t=\dfrac{-1}{2}.$
$\Rightarrow N\left( -\dfrac{1}{2};\dfrac{5}{4};\dfrac{3}{4} \right)\Rightarrow ON=\dfrac{\sqrt{38}}{4}.$
Đáp án B.