Google
Câu hỏi: Trong không gian $Oxyz$, cho các điểm $A\left( 1;0;2 \right),B\left( 1;2;1 \right)C\left( 3;2;0 \right)$ và $D\left( 1;1;3 \right)$. Đường thẳng đi qua $A$ và vuông góc với mặt phẳng $\left( BCD \right)$ có phương
A. $\left\{ \begin{aligned}
& x=1-t \\
& y=4t \\
& z=2+t \\
\end{aligned} \right. $.
B. $ \left\{ \begin{aligned}
& x=1+t \\
& y=4 \\
& z=2+2t \\
\end{aligned} \right. $.
C. $ \left\{ \begin{aligned}
& x=1-t \\
& y=2-4t \\
& z=2-2t \\
\end{aligned} \right. $.
D. $ \left\{ \begin{aligned}
& x=2+t \\
& y=4+4t \\
& z=4+2t \\
\end{aligned} \right.$.
A. $\left\{ \begin{aligned}
& x=1-t \\
& y=4t \\
& z=2+t \\
\end{aligned} \right. $.
B. $ \left\{ \begin{aligned}
& x=1+t \\
& y=4 \\
& z=2+2t \\
\end{aligned} \right. $.
C. $ \left\{ \begin{aligned}
& x=1-t \\
& y=2-4t \\
& z=2-2t \\
\end{aligned} \right. $.
D. $ \left\{ \begin{aligned}
& x=2+t \\
& y=4+4t \\
& z=4+2t \\
\end{aligned} \right.$.
$\left\{ \begin{aligned}
& \overrightarrow{BC}=\left( 2;0;-1 \right) \\
& \overrightarrow{BD}=\left( 0;-1;2 \right) \\
\end{aligned} \right.$$\Rightarrow \left[ \overrightarrow{BC},\overrightarrow{BD} \right]=\left( -1;-4;-2 \right)$.
Suy ra VTPT của mặt phẳng $\left( BCD \right)$ là $\overrightarrow{n}=\left( -1;-4;-2 \right)$.
Đường thẳng $d$ đi qua $A$ và vuông góc với mặt phẳng $\left( BCD \right)$ nên $d$ có VTCP $\overrightarrow{n}=\left( -1;-4;-2 \right)$ Do đó loại đáp án A và B sai.
Thay toạ độ $A\left( 1;0;2 \right)$ vào đáp án D suy ra $\left\{ \begin{aligned}
& t=-1 \\
& t=-1 \\
& t=-1 \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow t=-1$.
Vậy đường thẳng đi qua $A$ và vuông góc với mặt phẳng $\left( BCD \right)$ có phương trình $\left\{ \begin{aligned}
& x=2+t \\
& y=4+4t \\
& z=4+2t \\
\end{aligned} \right.$.
& \overrightarrow{BC}=\left( 2;0;-1 \right) \\
& \overrightarrow{BD}=\left( 0;-1;2 \right) \\
\end{aligned} \right.$$\Rightarrow \left[ \overrightarrow{BC},\overrightarrow{BD} \right]=\left( -1;-4;-2 \right)$.
Suy ra VTPT của mặt phẳng $\left( BCD \right)$ là $\overrightarrow{n}=\left( -1;-4;-2 \right)$.
Đường thẳng $d$ đi qua $A$ và vuông góc với mặt phẳng $\left( BCD \right)$ nên $d$ có VTCP $\overrightarrow{n}=\left( -1;-4;-2 \right)$ Do đó loại đáp án A và B sai.
Thay toạ độ $A\left( 1;0;2 \right)$ vào đáp án D suy ra $\left\{ \begin{aligned}
& t=-1 \\
& t=-1 \\
& t=-1 \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow t=-1$.
Vậy đường thẳng đi qua $A$ và vuông góc với mặt phẳng $\left( BCD \right)$ có phương trình $\left\{ \begin{aligned}
& x=2+t \\
& y=4+4t \\
& z=4+2t \\
\end{aligned} \right.$.
Đáp án D.