Google
Câu hỏi: Trong không gian Oxyz, cho các điểm $A\left( 1; 0; 2 \right), B\left( 1; 2; 1 \right), C\left( 3; 2; 0 \right)$ và $D\left( 1; 1; 3 \right)$. Đường thẳng đi qua A và vuông góc với mặt phẳng (BCD) có phương trình là
A. $\left\{ \begin{aligned}
& x=1-t \\
& y=4t \\
& z=2+2t \\
\end{aligned} \right. $
B. $ \left\{ \begin{aligned}
& x=1+t \\
& y=4 \\
& z=2+2t \\
\end{aligned} \right. $
C. $ \left\{ \begin{aligned}
& x=2+t \\
& y=4+4t \\
& z=4+2t \\
\end{aligned} \right. $
D. $ \left\{ \begin{aligned}
A. $\left\{ \begin{aligned}
& x=1-t \\
& y=4t \\
& z=2+2t \\
\end{aligned} \right. $
B. $ \left\{ \begin{aligned}
& x=1+t \\
& y=4 \\
& z=2+2t \\
\end{aligned} \right. $
C. $ \left\{ \begin{aligned}
& x=2+t \\
& y=4+4t \\
& z=4+2t \\
\end{aligned} \right. $
D. $ \left\{ \begin{aligned}
Đường thẳng đi qua A và vuông góc với mặt phẳng (BCD) nhận vec-tơ pháp tuyến của BCD là vec-tơ chỉ phương.
Ta có $\overrightarrow{BC}=\left( 2; 0; -1 \right), \overrightarrow{BD}=\left( 0; -1; 2 \right)\Rightarrow \overrightarrow{{{u}_{d}}}=\overrightarrow{{{n}_{BCD}}}=\left[ \overrightarrow{BC}; \overrightarrow{BD} \right]=\left( -1; -4; -2 \right)$ lúc này ta loại đáp án A và B. Thay điểm $A\left( 1; 0; 2 \right)$ vào phương trình ở phương án C ta có
$\left\{ \begin{aligned}
& 1=2+t \\
& 0=4+4t \\
& 2=4+2t \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& t=-1 \\
& t=-1 \\
& t=-1 \\
\end{aligned} \right.$. Suy ra đường thẳng có phương trình tham số ở phương án C đi qua điểm A nên C là phương án đúng.
Chú ý.
Đường thẳng $\left\{ \begin{aligned}
& x={{x}_{0}}+at \\
& y={{y}_{0}}+bt \\
& z={{z}_{0}}+ct \\
\end{aligned} \right. t\in \mathbb{R} $ đi qua điểm $ M\left( {{x}_{M}}; {{y}_{M}}; {{z}_{M}} \right)$ khi ta thay tọa độ điểm M vào đường thẳng sẽ tính ra được giá trị của t bằng nhau.
Ta có $\overrightarrow{BC}=\left( 2; 0; -1 \right), \overrightarrow{BD}=\left( 0; -1; 2 \right)\Rightarrow \overrightarrow{{{u}_{d}}}=\overrightarrow{{{n}_{BCD}}}=\left[ \overrightarrow{BC}; \overrightarrow{BD} \right]=\left( -1; -4; -2 \right)$ lúc này ta loại đáp án A và B. Thay điểm $A\left( 1; 0; 2 \right)$ vào phương trình ở phương án C ta có
$\left\{ \begin{aligned}
& 1=2+t \\
& 0=4+4t \\
& 2=4+2t \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& t=-1 \\
& t=-1 \\
& t=-1 \\
\end{aligned} \right.$. Suy ra đường thẳng có phương trình tham số ở phương án C đi qua điểm A nên C là phương án đúng.
Chú ý.
Đường thẳng $\left\{ \begin{aligned}
& x={{x}_{0}}+at \\
& y={{y}_{0}}+bt \\
& z={{z}_{0}}+ct \\
\end{aligned} \right. t\in \mathbb{R} $ đi qua điểm $ M\left( {{x}_{M}}; {{y}_{M}}; {{z}_{M}} \right)$ khi ta thay tọa độ điểm M vào đường thẳng sẽ tính ra được giá trị của t bằng nhau.
Đáp án C.