Google
Câu hỏi: Trong không gian $Oxyz$, cho các điểm $A\left( 0;0 ; 3 \right)$ và $B\left( 2;-3 ; -5 \right)$. Gọi $\left( P \right)$ là mặt phẳng chứa đường tròn giao tuyến của hai mặt cầu $\left( {{S}_{1}} \right):{{\left( x-1 \right)}^{2}}+{{\left( y-1 \right)}^{2}}+{{\left( z+3 \right)}^{2}}=25$ với $\left( {{S}_{2}} \right):{{x}^{2}}+{{y}^{2}}+{{z}^{2}}-2x-2y-14=0$. $M$, $N$ là hai điểm thuộc $\left( P \right)$ sao cho $MN=1$. Giá trị nhỏ nhất của $AM+BN$ là
A. $8\sqrt{2}$.
B. $\sqrt{78-2\sqrt{13}}$.
C. $34$.
D. $\sqrt{78-\sqrt{13}}$.
Các điểm trên đường tròn giao tuyến có tọa độ là nghiệm của hệ
$\left\{ \begin{aligned}
& \left( {{S}_{1}} \right):{{\left( x-1 \right)}^{2}}+{{\left( y-1 \right)}^{2}}+{{\left( z+3 \right)}^{2}}=25 \left( 1 \right) \\
& \left( {{S}_{2}} \right):{{x}^{2}}+{{y}^{2}}+{{z}^{2}}-2x-2y-14=0 \left( 2 \right) \\
\end{aligned} \right. $
Lấy $\left( 1 \right)$ trừ $\left( 2 \right)$, ta được $6z=0$ hay đường tròn giao tuyến nằm trên mặt phẳng $\left( P \right):z=0$ tức là $\left( P \right)\equiv \left( Oxy \right).$
Dễ thấy $A$, $B$ nằm khác phía đối với $\left( P \right)$, hình chiếu của $A$ trên $\left( P \right)$ là $O$, hình chiếu của $B$ trên $\left( P \right)$ là $H\left( 2; -3 ; 0 \right).$
Lấy $A'$ sao cho $\overrightarrow{A{A}'}=\overrightarrow{MN}.$ Ta có: $\left\{ \begin{aligned}
& A{{A}^{/}}=MN=1 \\
& AM={{A}^{/}}N \\
& A{{A}^{/}}\parallel (Oxy) \\
\end{aligned} \right.$.
Gọi $\left( \alpha \right):z-3=0$ là mp qua $A$ song song với mp $\left( Oxy \right)$.Suy ra ${{A}^{/}}$ thuộc đường tròn $\left( C \right)$ nằm trong mp $\left( \alpha \right)$ có tâm $A\left( 0;0 ; 3 \right)$ bán kính $R=1$.
Khi đó $AM+BN={A}'N+BN\ge {A}'B$.
Cách 1
Gọi ${{H}^{/}}$ là hình chiếu vuông góc của điểm $B$ trên mp $\left( \alpha \right)$. Ta có $B{{H}^{/}}=BH+d\left( \left( \text{ox}y \right),\left( \alpha \right) \right)=5+3=8$.
Có ${{A}^{/}}B=\sqrt{B{{H}^{/2}}+{{A}^{/}}{{H}^{/2}}}\ge \sqrt{{{8}^{2}}+{{\left( A{{H}^{/}}-R \right)}^{2}}}$
$A{{H}^{/}}=\sqrt{A{{B}^{2}}-B{{H}^{/2}}}=\sqrt{77-64}=\sqrt{13}$. Vậy ${{A}^{/}}B\ge \sqrt{78-2\sqrt{13}}$.
Hay $AM+BN\ge \sqrt{78-2\sqrt{13}}$.
Vậy giá trị nhỏ nhất của $AM+BN$ là $\sqrt{78-2\sqrt{13}}$.
Cách 2: ( phương pháp trắc nghiệm)
Dấu bằng xảy ra khi $\overrightarrow{MN}$ cùng phương $\overrightarrow{OH}.$
Do $MN=1$ nên chọn $\overrightarrow{MN}=\dfrac{\overrightarrow{OH}}{\left| \overrightarrow{OH} \right|}=\left( \dfrac{2}{\sqrt{13}} ; -\dfrac{3}{\sqrt{13}} ; 0 \right).$
Khi đó vì $\overrightarrow{A{A}'}=\overrightarrow{MN}$ nên ${A}'\left( \dfrac{2}{\sqrt{13}} ; -\dfrac{3}{\sqrt{13}} ; 3 \right).$
Suy ra $AM+BN={A}'N+BN\ge {A}'B=\sqrt{78-2\sqrt{13}}$.
A. $8\sqrt{2}$.
B. $\sqrt{78-2\sqrt{13}}$.
C. $34$.
D. $\sqrt{78-\sqrt{13}}$.
Các điểm trên đường tròn giao tuyến có tọa độ là nghiệm của hệ
$\left\{ \begin{aligned}
& \left( {{S}_{1}} \right):{{\left( x-1 \right)}^{2}}+{{\left( y-1 \right)}^{2}}+{{\left( z+3 \right)}^{2}}=25 \left( 1 \right) \\
& \left( {{S}_{2}} \right):{{x}^{2}}+{{y}^{2}}+{{z}^{2}}-2x-2y-14=0 \left( 2 \right) \\
\end{aligned} \right. $
Lấy $\left( 1 \right)$ trừ $\left( 2 \right)$, ta được $6z=0$ hay đường tròn giao tuyến nằm trên mặt phẳng $\left( P \right):z=0$ tức là $\left( P \right)\equiv \left( Oxy \right).$
Dễ thấy $A$, $B$ nằm khác phía đối với $\left( P \right)$, hình chiếu của $A$ trên $\left( P \right)$ là $O$, hình chiếu của $B$ trên $\left( P \right)$ là $H\left( 2; -3 ; 0 \right).$
Lấy $A'$ sao cho $\overrightarrow{A{A}'}=\overrightarrow{MN}.$ Ta có: $\left\{ \begin{aligned}
& A{{A}^{/}}=MN=1 \\
& AM={{A}^{/}}N \\
& A{{A}^{/}}\parallel (Oxy) \\
\end{aligned} \right.$.
Gọi $\left( \alpha \right):z-3=0$ là mp qua $A$ song song với mp $\left( Oxy \right)$.Suy ra ${{A}^{/}}$ thuộc đường tròn $\left( C \right)$ nằm trong mp $\left( \alpha \right)$ có tâm $A\left( 0;0 ; 3 \right)$ bán kính $R=1$.
Khi đó $AM+BN={A}'N+BN\ge {A}'B$.
Cách 1
Gọi ${{H}^{/}}$ là hình chiếu vuông góc của điểm $B$ trên mp $\left( \alpha \right)$. Ta có $B{{H}^{/}}=BH+d\left( \left( \text{ox}y \right),\left( \alpha \right) \right)=5+3=8$.
Có ${{A}^{/}}B=\sqrt{B{{H}^{/2}}+{{A}^{/}}{{H}^{/2}}}\ge \sqrt{{{8}^{2}}+{{\left( A{{H}^{/}}-R \right)}^{2}}}$
$A{{H}^{/}}=\sqrt{A{{B}^{2}}-B{{H}^{/2}}}=\sqrt{77-64}=\sqrt{13}$. Vậy ${{A}^{/}}B\ge \sqrt{78-2\sqrt{13}}$.
Hay $AM+BN\ge \sqrt{78-2\sqrt{13}}$.
Vậy giá trị nhỏ nhất của $AM+BN$ là $\sqrt{78-2\sqrt{13}}$.
Cách 2: ( phương pháp trắc nghiệm)
Dấu bằng xảy ra khi $\overrightarrow{MN}$ cùng phương $\overrightarrow{OH}.$
Do $MN=1$ nên chọn $\overrightarrow{MN}=\dfrac{\overrightarrow{OH}}{\left| \overrightarrow{OH} \right|}=\left( \dfrac{2}{\sqrt{13}} ; -\dfrac{3}{\sqrt{13}} ; 0 \right).$
Khi đó vì $\overrightarrow{A{A}'}=\overrightarrow{MN}$ nên ${A}'\left( \dfrac{2}{\sqrt{13}} ; -\dfrac{3}{\sqrt{13}} ; 3 \right).$
Suy ra $AM+BN={A}'N+BN\ge {A}'B=\sqrt{78-2\sqrt{13}}$.
Đáp án B.