Google
Câu hỏi: Trong không gian $Oxyz$, cho các điểm $A\left( 0;0 ; 2 \right)$ và $B\left( 3;4 ; 1 \right)$. Gọi $\left( P \right)$ là mặt phẳng chứa đường tròn giao tuyến của hai mặt cầu $\left( {{S}_{1}} \right):{{\left( x-1 \right)}^{2}}+{{\left( y-1 \right)}^{2}}+{{\left( z+3 \right)}^{2}}=25$ với $\left( {{S}_{2}} \right):{{x}^{2}}+{{y}^{2}}+{{z}^{2}}-2x-2y-14=0$. $M$, $N$ là hai điểm thuộc $\left( P \right)$ sao cho $MN=1$. Giá trị nhỏ nhất của $AM+BN$ là
A. $3$.
B. $\sqrt{34}-1$.
C. $5$.
D. $\sqrt{34}$.
Từ $\left\{ \begin{aligned}
& \left( {{S}_{1}} \right):{{\left( x-1 \right)}^{2}}+{{\left( y-1 \right)}^{2}}+{{\left( z+3 \right)}^{2}}=25 \left( 1 \right) \\
& \left( {{S}_{2}} \right):{{x}^{2}}+{{y}^{2}}+{{z}^{2}}-2x-2y-14=0 \left( 2 \right) \\
\end{aligned} \right. $
Lấy $\left( 1 \right)$ trừ $\left( 2 \right)$, ta được $6z=0$ hay
$\left( P \right):z=0$ tức là $\left( P \right)\equiv \left( Oxy \right).$
Dễ thấy $A$, $B$ nằm khác phía đối với $\left( P \right)$, hình chiếu của $A$ trên $\left( P \right)$ là $O$, hình chiếu của $B$ trên $\left( P \right)$ là $H\left( 3; 4 ; 0 \right).$
Lấy $A'$ sao cho $\overrightarrow{A{A}'}=\overrightarrow{MN}.$
Khi đó $AM+BN={A}'N+BN\ge {A}'B$ và cực trị chỉ xảy ra khi $\overrightarrow{MN}$ cùng phương $\overrightarrow{OH}.$
Lấy $\overrightarrow{MN}=\dfrac{\overrightarrow{OH}}{\left| \overrightarrow{OH} \right|}=\left( \dfrac{3}{5} ; \dfrac{4}{5} ; 0 \right).$
Khi đó vì $\overrightarrow{A{A}'}=\overrightarrow{MN}$ nên ${A}'\left( \dfrac{3}{5} ; \dfrac{4}{5} ; 0 \right).$ Do đó $AM+BN={A}'N+BN\ge {A}'B=5.$
A. $3$.
B. $\sqrt{34}-1$.
C. $5$.
D. $\sqrt{34}$.
Từ $\left\{ \begin{aligned}
& \left( {{S}_{1}} \right):{{\left( x-1 \right)}^{2}}+{{\left( y-1 \right)}^{2}}+{{\left( z+3 \right)}^{2}}=25 \left( 1 \right) \\
& \left( {{S}_{2}} \right):{{x}^{2}}+{{y}^{2}}+{{z}^{2}}-2x-2y-14=0 \left( 2 \right) \\
\end{aligned} \right. $
Lấy $\left( 1 \right)$ trừ $\left( 2 \right)$, ta được $6z=0$ hay
$\left( P \right):z=0$ tức là $\left( P \right)\equiv \left( Oxy \right).$
Dễ thấy $A$, $B$ nằm khác phía đối với $\left( P \right)$, hình chiếu của $A$ trên $\left( P \right)$ là $O$, hình chiếu của $B$ trên $\left( P \right)$ là $H\left( 3; 4 ; 0 \right).$
Lấy $A'$ sao cho $\overrightarrow{A{A}'}=\overrightarrow{MN}.$
Khi đó $AM+BN={A}'N+BN\ge {A}'B$ và cực trị chỉ xảy ra khi $\overrightarrow{MN}$ cùng phương $\overrightarrow{OH}.$
Lấy $\overrightarrow{MN}=\dfrac{\overrightarrow{OH}}{\left| \overrightarrow{OH} \right|}=\left( \dfrac{3}{5} ; \dfrac{4}{5} ; 0 \right).$
Khi đó vì $\overrightarrow{A{A}'}=\overrightarrow{MN}$ nên ${A}'\left( \dfrac{3}{5} ; \dfrac{4}{5} ; 0 \right).$ Do đó $AM+BN={A}'N+BN\ge {A}'B=5.$
Đáp án C.