Trong không gian $Oxyz$, cho các điểm $A(1 ; 4 ; 5), B(0 ; 3 ; 1)...

Xét biểu thức $T=M A^{2}+M B^{2}+M C^{2}$
Gọi $G(1 ; 2 ; 2)$ là trọng tâm của tam giác $ABC$ thì $\overrightarrow{G A}+\overrightarrow{G B}+\overrightarrow{G C}=\overrightarrow{0}$.
Ta có: $T=\overrightarrow{M A}^{2}+\overrightarrow{M B}^{2}+\overrightarrow{M C}^{2}=(\overrightarrow{M G}+\overrightarrow{G A})^{2}+(\overrightarrow{M G}+\overrightarrow{G B})^{2}+(\overrightarrow{M G}+\overrightarrow{G C})^{2}$.
$=3 \overrightarrow{M G}+2 \overrightarrow{M G}(\overrightarrow{G A}+\overrightarrow{G B}+\overrightarrow{G C})+\overrightarrow{G A}^{2}+\overrightarrow{G B}^{2}+\overrightarrow{G C}^{2}=3 M G^{2}+G A^{2}+G B^{2}+G C^{2}$.
Gọi $H$ là hình chiếu của $G$ lên $(P)$ thì $M G \geq H G$ nên $T$ đạt GTNN nếu $M \equiv H$.
Viết phương trình đường thẳng $d$ đi qua $G(1 ; 2 ; 2)$ và vuông góc $(P)$.
Khi đó $\text d \ $ nhận $ \overrightarrow{{{n}_{(P)}}}=(3;-3;-2) $ làm véctơ chỉ phương nên $ d:\left\{ \begin{array}{*{35}{l}}
x=1+3t \\
y=2-3t \\
z=2-2t \\
\end{array} \right.$
$\begin{aligned}
&M=d \cap(P) \text { nên tọa độ của } M \text { thỏa mãn hệ phương trình: }\left\{\begin{array}{l}
x=1+3 t \\
y=2-3 t \\
z=2-2 t \\
3 x-3 y-2 z-15=0
\end{array}\right.\\
&\Rightarrow 3(1+3 t)-3(2-3 t)-2(2-2 t)-15=0 \Leftrightarrow-22+22 t=0 \Leftrightarrow t=1 \Rightarrow M(4 ;-1 ; 0)\\
&\Rightarrow a=4, b=-1, c=0 \Rightarrow a+b+c=3
\end{aligned} \left\{ \begin{array}{*{35}{l}}
\end{array} \right.$