Trong không gian Oxyz, cho bốn đường thẳng...

The Knowledge · 15/12/21

Câu hỏi: Trong không gian Oxyz, cho bốn đường thẳng:

d_{1} : \frac{x - 3}{1} = \frac{y + 1}{- 2} = \frac{z + 1}{1}

,

d_{2} : \frac{x}{1} = \frac{y}{- 2} = \frac{z - 1}{1}

,

d_{3} : \frac{x - 1}{2} = \frac{y + 1}{1} = \frac{z - 1}{1}

,

d_{4} : \frac{x}{1} = \frac{y - 1}{- 1} = \frac{z - 1}{1}

. Số đường thẳng trong không gian cắt cả bốn đường thẳng trên là
A. 0.
B. 2.
C. 1.
D. Vô số.

Đường thẳng

d_{1}

đi qua

M_{1} = (3; - 1; - 1)

và có một vectơ chỉ phương là

\vec{u_{1}} = (1; - 2; 1)

.
Đường thẳng

d_{2}

đi qua

M_{2} = (0; 0; 1)

và có một vectơ chỉ phương là

\vec{u_{2}} = (1; - 2; 1)

.
Do

\vec{u_{1}} = \vec{u_{2}}

và

M_{1} \notin d_{1}

nên hai đường thẳng

d_{1}

và

d_{2}

song song với nhau.
Ta có

\vec{M_{1} M_{2}} = (- 3; 1; 2), [\vec{u_{1}}, \vec{M_{1} M_{2}}] = (- 5; - 5; - 5) = - 5 (1; 1; 1)

.
Gọi

(α)

là mặt phẳng chứa

d_{1}

và

d_{2}

khi đó

(α)

có một vectơ pháp tuyến là

\vec{n} = (1; 1; 1)

. Phương trình mặt phẳng

(α)

là

x + y + z - 1 = 0

,
Gọi

A = d_{3} \cap (α)

thì

A (1; - 1; 1)

. Gọi

B = d_{4} \cap (α)

thì

B (- 1; 2; 0)

.
Do

\vec{A B} = (- 2; 3; - 1)

không cùng phương với

\vec{u_{1}} = (1; - 2; 1)

nên đường thẳng AB cắt hai đường thẳng

d_{1}

và

d_{2}

.

Đáp án C.