Google
Câu hỏi: Trong không gian Oxyz, cho bốn đường thẳng: ${{d}_{1}}:\dfrac{x-3}{1}=\dfrac{y+1}{-2}=\dfrac{z+1}{1}$, ${{d}_{2}}:\dfrac{x}{1}=\dfrac{y}{-2}=\dfrac{z-1}{1}$, ${{d}_{3}}:\dfrac{x-1}{2}=\dfrac{y+1}{1}=\dfrac{z-1}{1}$, ${{d}_{4}}:\dfrac{x}{1}=\dfrac{y-1}{-1}=\dfrac{z-1}{1}$. Số đường thẳng trong không gian cắt cả bốn đường thẳng trên là
A. 0.
B. 2.
C. 1.
D. Vô số.
A. 0.
B. 2.
C. 1.
D. Vô số.
Đường thẳng ${{d}_{1}}$ đi qua ${{M}_{1}}=\left( 3;-1;-1 \right)$ và có một vectơ chỉ phương là $\overrightarrow{{{u}_{1}}}=\left( 1;-2;1 \right)$.
Đường thẳng ${{d}_{2}}$ đi qua ${{M}_{2}}=\left( 0;0;1 \right)$ và có một vectơ chỉ phương là $\overrightarrow{{{u}_{2}}}=\left( 1;-2;1 \right)$.
Do $\overrightarrow{{{u}_{1}}}=\overrightarrow{{{u}_{2}}}$ và ${{M}_{1}}\notin {{d}_{1}}$ nên hai đường thẳng ${{d}_{1}}$ và ${{d}_{2}}$ song song với nhau.
Ta có $\overrightarrow{{{M}_{1}}{{M}_{2}}}=\left( -3;1;2 \right),\left[ \overrightarrow{{{u}_{1}}},\overrightarrow{{{M}_{1}}{{M}_{2}}} \right]=\left( -5;-5;-5 \right)=-5\left( 1;1;1 \right)$.
Gọi $\left( \alpha \right)$ là mặt phẳng chứa ${{d}_{1}}$ và ${{d}_{2}}$ khi đó $\left( \alpha \right)$ có một vectơ pháp tuyến là $\overrightarrow{n}=\left( 1;1;1 \right)$. Phương trình mặt phẳng $\left( \alpha \right)$ là $x+y+z-1=0$,
Gọi $A={{d}_{3}}\cap \left( \alpha \right)$ thì $A\left( 1;-1;1 \right)$. Gọi $B={{d}_{4}}\cap \left( \alpha \right)$ thì $B\left( -1;2;0 \right)$.
Do $\overrightarrow{AB}=\left( -2;3;-1 \right)$ không cùng phương với $\overrightarrow{{{u}_{1}}}=\left( 1;-2;1 \right)$ nên đường thẳng AB cắt hai đường thẳng ${{d}_{1}}$ và ${{d}_{2}}$.
Đường thẳng ${{d}_{2}}$ đi qua ${{M}_{2}}=\left( 0;0;1 \right)$ và có một vectơ chỉ phương là $\overrightarrow{{{u}_{2}}}=\left( 1;-2;1 \right)$.
Do $\overrightarrow{{{u}_{1}}}=\overrightarrow{{{u}_{2}}}$ và ${{M}_{1}}\notin {{d}_{1}}$ nên hai đường thẳng ${{d}_{1}}$ và ${{d}_{2}}$ song song với nhau.
Ta có $\overrightarrow{{{M}_{1}}{{M}_{2}}}=\left( -3;1;2 \right),\left[ \overrightarrow{{{u}_{1}}},\overrightarrow{{{M}_{1}}{{M}_{2}}} \right]=\left( -5;-5;-5 \right)=-5\left( 1;1;1 \right)$.
Gọi $\left( \alpha \right)$ là mặt phẳng chứa ${{d}_{1}}$ và ${{d}_{2}}$ khi đó $\left( \alpha \right)$ có một vectơ pháp tuyến là $\overrightarrow{n}=\left( 1;1;1 \right)$. Phương trình mặt phẳng $\left( \alpha \right)$ là $x+y+z-1=0$,
Gọi $A={{d}_{3}}\cap \left( \alpha \right)$ thì $A\left( 1;-1;1 \right)$. Gọi $B={{d}_{4}}\cap \left( \alpha \right)$ thì $B\left( -1;2;0 \right)$.
Do $\overrightarrow{AB}=\left( -2;3;-1 \right)$ không cùng phương với $\overrightarrow{{{u}_{1}}}=\left( 1;-2;1 \right)$ nên đường thẳng AB cắt hai đường thẳng ${{d}_{1}}$ và ${{d}_{2}}$.
Đáp án C.