Trong không gian $O x y z$ , cho bốn điểm $A\left( a;0;0...

The Funny · 27/5/23

Câu hỏi: Trong không gian

O x y z

, cho bốn điểm

A (a; 0; 0), B (0; b; 0), C (0; 0; c), D (1; 2; - 1)

, với

a, b, c

là các số thực khác

0

. Biết rằng bốn điểm

A, B, C, D

đồng phẳng, khi khoảng cách từ gốc toạ độ

O

đến mặt phẳng

(A B C)

lớn nhất. Giá trị

a + b + c

bằng
A.

15

.
B.

3

.
C.

2

.
D.

4

.

Phương trình mặt phẳng

(A B C) : \frac{x}{a} + \frac{y}{b} + \frac{z}{c} = 1 (a c b \neq 0)

Vì

D (1; 2; - 1)

thuộc mặt phẳng nên ta có:

\frac{1}{a} + \frac{2}{b} - \frac{1}{c} = 1

Ta có

d (O; (A B C)) = \frac{1}{\sqrt{\frac{1}{a^{2}} + \frac{1}{b^{2}} + \frac{1}{c^{2}}}}

Mà

{(\frac{1}{a} + \frac{2}{b} - \frac{1}{c})}^{2} = {(\frac{1}{a} +2 . \frac{1}{b} + (- 1) . \frac{1}{c})}^{2} \leq 6 (\frac{1}{a^{2}} + \frac{1}{b^{2}} + \frac{1}{c^{2}})

\Rightarrow 1 \leq \sqrt{6} . \sqrt{(\frac{1}{a^{2}} + \frac{1}{b^{2}} + \frac{1}{c^{2}})} \Rightarrow \frac{1}{\sqrt{\frac{1}{a^{2}} + \frac{1}{b^{2}} + \frac{1}{c^{2}}}} \leq \sqrt{6}

hay

d (O; (A B C)) \leq \sqrt{6}

Vậy,

d_{max} = \sqrt{6} \Leftrightarrow {\begin{aligned} a = 2 b = - c \\ \frac{1}{a} + \frac{2}{b} - \frac{1}{c} = 1 \end{aligned} \Leftrightarrow {\begin{aligned} a = 6 \\ b = 3 \\ c = - 6 \end{aligned} \Rightarrow a + b + c = 3

.

Đáp án B.

Trong không gian Oxyz, cho bốn điểm $A\left( a;0;0...