Trong không gian Oxyz, cho bốn điểm $A\left( 6;-2;3...

Phương trình mặt cầu (S) có dạng: ${{x}^{2}}+{{y}^{2}}+{{z}^{2}}-2Ax-2By-2Cz+D=0,$ ta có
$\left\{ \begin{aligned}
& A\left( 6;-2;3 \right)\in \left( S \right) \\
& B\left( 0;1;6 \right)\in \left( S \right) \\
& C\left( 2;0;-1 \right)\in \left( S \right) \\
& D\left( 4;1;0 \right)\in \left( S \right) \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& 49-12A+4B-6C+D=0\left( 1 \right) \\
& 37-2B-12C+D=0\left( 2 \right) \\
& 5-4A+2C+D=0\left( 3 \right) \\
& 17-8A-2B+D=0\left( 4 \right) \\
\end{aligned} \right.$
Lấy $\left( 1 \right)-\left( 2 \right);\left( 2 \right)-\left( 3 \right);\left( 3 \right)-\left( 4 \right)$ ta được hệ:
$\left\{ \begin{aligned}
& -12A+6B+6C=-12 \\
& 4A-2B-14C=-32 \\
& 4A+2B+2C=12 \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& A=2 \\
& B=-1 \\
& C=3 \\
\end{aligned} \right.\Rightarrow D=-3.$
Vậy phương trình mặt cầu là: ${{x}^{2}}+{{y}^{2}}+{{z}^{2}}-4x+2y-6z-3=0.$