Google
Câu hỏi: Trong không gian Oxyz, cho bốn điểm $A\left( 3;1;0 \right),B\left( 2;0;-1 \right),C\left( 2;2;0 \right),D\left( 3;7;3 \right)$. Với mỗi điểm M tùy ý, đặt $T=MA+MB+MC+MD.$ Gọi ${{M}_{o}}\left( a,b,c \right)$ là điểm sao cho T đạt giá trị nhỏ nhất. Khi đó tổng $a+5b+c$ bằng
A. $\dfrac{17}{4}.$
B. 11.
C. – 7.
D. 4.
A. $\dfrac{17}{4}.$
B. 11.
C. – 7.
D. 4.
Ta có $\overrightarrow{AB}=\left( -1;-1;-1 \right),\overrightarrow{AC}=\left( -1;1;0 \right),\overrightarrow{AD}=\left( 0;6;3 \right),\overrightarrow{BC}=\left( 0;2;1 \right),\overrightarrow{BD}=\left( 1;7;4 \right)$
Suy ra $\left[ \overrightarrow{AB},\overrightarrow{AC} \right]=\left( 1;1;-2 \right)$ và $AC=\sqrt{2},BD=\sqrt{66}$
Phương trình mặt phẳng $\left( ABC \right):x+y-2z-4=0 \left( 1 \right)$
Do tọa độ điểm D thỏa mãn (1) nên bốn điểm A, B, C, D đồng phẳng
Mặt khác $\overrightarrow{AD}=3\overrightarrow{BC}$, suy ra ABCD là hình thang với hai đường chéo AC và BD cắt nhau tại điểm I.
Phương trình đường thẳng $AC:\left\{ \begin{aligned}
& x=3-t \\
& y=1+t \\
& z=0 \\
\end{aligned} \right.$
Phương trình đường thẳng $BD:\left\{ \begin{aligned}
& x=2+t' \\
& y=7t' \\
& z=-1+4t' \\
\end{aligned} \right.$
Hai đường thẳng AC và BD cắt nhau tại điểm $I\left( \dfrac{9}{4};\dfrac{7}{4};0 \right)$
Với mọi $M,MA+MC\ge AC$ và $MB+MD\ge BD$ nên
$T=MA+MB+MC+MD\ge AC+BD=\sqrt{2}+\sqrt{66}$
Do đó ${{T}_{\min }}=\sqrt{2}+\sqrt{66}$ khi $M\equiv I$. Suy ra ${{M}_{o}}\left( \dfrac{9}{4};\dfrac{7}{4};0 \right)$
Vậy $a+5b+c=11$
Suy ra $\left[ \overrightarrow{AB},\overrightarrow{AC} \right]=\left( 1;1;-2 \right)$ và $AC=\sqrt{2},BD=\sqrt{66}$
Phương trình mặt phẳng $\left( ABC \right):x+y-2z-4=0 \left( 1 \right)$
Do tọa độ điểm D thỏa mãn (1) nên bốn điểm A, B, C, D đồng phẳng
Mặt khác $\overrightarrow{AD}=3\overrightarrow{BC}$, suy ra ABCD là hình thang với hai đường chéo AC và BD cắt nhau tại điểm I.
Phương trình đường thẳng $AC:\left\{ \begin{aligned}
& x=3-t \\
& y=1+t \\
& z=0 \\
\end{aligned} \right.$
Phương trình đường thẳng $BD:\left\{ \begin{aligned}
& x=2+t' \\
& y=7t' \\
& z=-1+4t' \\
\end{aligned} \right.$
Hai đường thẳng AC và BD cắt nhau tại điểm $I\left( \dfrac{9}{4};\dfrac{7}{4};0 \right)$
Với mọi $M,MA+MC\ge AC$ và $MB+MD\ge BD$ nên
$T=MA+MB+MC+MD\ge AC+BD=\sqrt{2}+\sqrt{66}$
Do đó ${{T}_{\min }}=\sqrt{2}+\sqrt{66}$ khi $M\equiv I$. Suy ra ${{M}_{o}}\left( \dfrac{9}{4};\dfrac{7}{4};0 \right)$
Vậy $a+5b+c=11$
Đáp án B.