Google
Câu hỏi: Trong không gian $Oxyz$, cho bốn điểm $A\left( 2; 1; 4 \right), B\left( 2; 5; 4 \right), C\left( -\dfrac{5}{2}; 5; -1 \right), D\left( -3; 1; -4 \right)$. Các điểm $M, N$ thỏa mãn $M{{A}^{2}}+3M{{B}^{2}}=48$ và $N{{D}^{2}}=\left( \overrightarrow{NC}+\overrightarrow{BC} \right).\overrightarrow{ND}$. Tìm độ dài ngắn nhất của đoạn thẳng $MN$.
A. $4$.
B. $1$.
C. $0$.
D. $\dfrac{2}{3}$.
A. $4$.
B. $1$.
C. $0$.
D. $\dfrac{2}{3}$.
+ Gọi $M\left( x; y; z \right)$
Ta có: $M{{A}^{2}}={{\left( x-2 \right)}^{2}}+{{\left( y-1 \right)}^{2}}+{{\left( z-4 \right)}^{2}}$ và $3M{{B}^{2}}=3\left[ {{\left( x-2 \right)}^{2}}+{{\left( y-5 \right)}^{2}}+{{\left( z-4 \right)}^{2}} \right]$.
$M{{A}^{2}}+3M{{B}^{2}}=48$ $\Leftrightarrow {{\left( x-2 \right)}^{2}}+{{\left( y-4 \right)}^{2}}+{{\left( z-4 \right)}^{2}}=9$. Suy ra tập hợp điểm $M$ là mặt cầu $\left( S \right)$ có tâm $I\left( 2; 4; 4 \right)$, bán kính $R=3$.
+ Gọi $N\left( a; b; c \right)$
$N{{D}^{2}}=\left( \overrightarrow{NC}+\overrightarrow{BC} \right).\overrightarrow{ND}$ $\Leftrightarrow {{\overrightarrow{ND}}^{2}}=\left( \overrightarrow{NC}+\overrightarrow{BC} \right).\overrightarrow{ND}\Leftrightarrow \overrightarrow{ND}.\left( \overrightarrow{DC}+\overrightarrow{BC} \right)=0$ $\Leftrightarrow 4\left( a+3 \right)-4\left( b-1 \right)+2\left( c+4 \right)=0\Leftrightarrow 2a-2b+c+12=0$. Suy ra tập hợp điểm $N$ là mặt phẳng $\left( P \right): 2x-2y+z+12=0$.
Suy ra $d\left( I,\left( P \right) \right)=4>R$.
Vậy $M{{N}_{\min }}={{d}_{\left( I; \left( P \right) \right)}}-R=4-3=1$ khi $IN\bot \left( P \right)$ và $M=IN\cap \left( S \right)$.
Ta có: $M{{A}^{2}}={{\left( x-2 \right)}^{2}}+{{\left( y-1 \right)}^{2}}+{{\left( z-4 \right)}^{2}}$ và $3M{{B}^{2}}=3\left[ {{\left( x-2 \right)}^{2}}+{{\left( y-5 \right)}^{2}}+{{\left( z-4 \right)}^{2}} \right]$.
$M{{A}^{2}}+3M{{B}^{2}}=48$ $\Leftrightarrow {{\left( x-2 \right)}^{2}}+{{\left( y-4 \right)}^{2}}+{{\left( z-4 \right)}^{2}}=9$. Suy ra tập hợp điểm $M$ là mặt cầu $\left( S \right)$ có tâm $I\left( 2; 4; 4 \right)$, bán kính $R=3$.
+ Gọi $N\left( a; b; c \right)$
$N{{D}^{2}}=\left( \overrightarrow{NC}+\overrightarrow{BC} \right).\overrightarrow{ND}$ $\Leftrightarrow {{\overrightarrow{ND}}^{2}}=\left( \overrightarrow{NC}+\overrightarrow{BC} \right).\overrightarrow{ND}\Leftrightarrow \overrightarrow{ND}.\left( \overrightarrow{DC}+\overrightarrow{BC} \right)=0$ $\Leftrightarrow 4\left( a+3 \right)-4\left( b-1 \right)+2\left( c+4 \right)=0\Leftrightarrow 2a-2b+c+12=0$. Suy ra tập hợp điểm $N$ là mặt phẳng $\left( P \right): 2x-2y+z+12=0$.
Suy ra $d\left( I,\left( P \right) \right)=4>R$.
Đáp án B.