Google
Câu hỏi: Trong không gian $Oxyz$, cho bốn điểm $A\left( 2 ; 0 ; 1 \right)$, $B\left( 3 ; 1 ; 5 \right)$, $C\left( 1 ; 2 ; 0 \right)$, $D\left( 4 ; 2 ; 1 \right)$. Gọi $\left( \alpha \right)$ là mặt phẳng đi qua $D$ sao cho ba điểm $A$, $B$, $C$ nằm cùng phía đối với $\left( \alpha \right)$ và tổng khoảng cách từ các điểm $A$, $B$, $C$ đến mặt phẳng $\left( \alpha \right)$ là lớn nhất. Giả sử phương trình $\left( \alpha \right)$ có dạng: $2x+my+nz-p=0$. Khi đó, $T=m+n+p$ bằng:
A. 9.
B. 6.
C. 8.
D. 7.
A. 9.
B. 6.
C. 8.
D. 7.
Vì mặt phẳng $\left( \alpha \right)$ đi qua $D\left( 4 ; 2 ; 1 \right)$ nên phương trình $\left( \alpha \right)$ có dạng:
$a.\left( x-4 \right)+b.\left( y-2 \right)+c.\left( z-1 \right)=0$ (với ${{a}^{2}}+{{b}^{2}}+{{c}^{2}}>0$ )
Đặt $S=d\left[ A,\left( \alpha \right) \right]+d\left[ B,\left( \alpha \right) \right]+d\left[ C,\left( \alpha \right) \right]=\dfrac{\left| -2a-2b \right|+\left| -a-b+4c \right|+\left| -3a-c \right|}{\sqrt{{{a}^{2}}+{{b}^{2}}+{{c}^{2}}}}$.
Theo giả thiết, $A$, $B$, $C$ nằm cùng phía đối với $\left( \alpha \right)$ nên không mất tính tổng quát, ta giả sử:
$\left\{ \begin{aligned}
& -2a-2b>0 \\
& -a-b+4c>0 \\
& -3a-c>0 \\
\end{aligned} \right.$.
Khi đó, $S=\dfrac{-2a-2b-a-b+4c-3a-c}{\sqrt{{{a}^{2}}+{{b}^{2}}+{{c}^{2}}}}=\dfrac{-6a-3b+3c}{\sqrt{{{a}^{2}}+{{b}^{2}}+{{c}^{2}}}}$.
Áp dụng bất đẳng thức $B.C.S$ cho hai bộ số $\left( -6 ; -3 ; 3 \right)$ và $\left( a ; b ; c \right)$, ta được:
$-6a-3b+3c\le \left| -6a-3b+3c \right|\le \sqrt{\left( {{6}^{2}}+{{3}^{2}}+{{3}^{2}} \right).\left( {{a}^{2}}+{{b}^{2}}+{{c}^{2}} \right)}$.
$\Rightarrow S\le 3\sqrt{6}$.
Đẳng thức xảy ra $\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& -6a-3b+3c\ge 0 \\
& \dfrac{a}{-6}=\dfrac{b}{-3}=\dfrac{c}{3} \\
\end{aligned} \right. $. Ta chọn $ \left\{ \begin{aligned}
& a=-2 \\
& b=-1 \\
& c=1 \\
\end{aligned} \right.$.
$\Rightarrow \left( \alpha \right):-2x-y+z+9=0$ hay $\left( \alpha \right):2x+y-z-9=0$.
$\Rightarrow m=1$, $n=-1$, $p=9$.
Vậy $T=m+n+p=9$.
$a.\left( x-4 \right)+b.\left( y-2 \right)+c.\left( z-1 \right)=0$ (với ${{a}^{2}}+{{b}^{2}}+{{c}^{2}}>0$ )
Đặt $S=d\left[ A,\left( \alpha \right) \right]+d\left[ B,\left( \alpha \right) \right]+d\left[ C,\left( \alpha \right) \right]=\dfrac{\left| -2a-2b \right|+\left| -a-b+4c \right|+\left| -3a-c \right|}{\sqrt{{{a}^{2}}+{{b}^{2}}+{{c}^{2}}}}$.
Theo giả thiết, $A$, $B$, $C$ nằm cùng phía đối với $\left( \alpha \right)$ nên không mất tính tổng quát, ta giả sử:
$\left\{ \begin{aligned}
& -2a-2b>0 \\
& -a-b+4c>0 \\
& -3a-c>0 \\
\end{aligned} \right.$.
Khi đó, $S=\dfrac{-2a-2b-a-b+4c-3a-c}{\sqrt{{{a}^{2}}+{{b}^{2}}+{{c}^{2}}}}=\dfrac{-6a-3b+3c}{\sqrt{{{a}^{2}}+{{b}^{2}}+{{c}^{2}}}}$.
Áp dụng bất đẳng thức $B.C.S$ cho hai bộ số $\left( -6 ; -3 ; 3 \right)$ và $\left( a ; b ; c \right)$, ta được:
$-6a-3b+3c\le \left| -6a-3b+3c \right|\le \sqrt{\left( {{6}^{2}}+{{3}^{2}}+{{3}^{2}} \right).\left( {{a}^{2}}+{{b}^{2}}+{{c}^{2}} \right)}$.
$\Rightarrow S\le 3\sqrt{6}$.
Đẳng thức xảy ra $\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& -6a-3b+3c\ge 0 \\
& \dfrac{a}{-6}=\dfrac{b}{-3}=\dfrac{c}{3} \\
\end{aligned} \right. $. Ta chọn $ \left\{ \begin{aligned}
& a=-2 \\
& b=-1 \\
& c=1 \\
\end{aligned} \right.$.
$\Rightarrow \left( \alpha \right):-2x-y+z+9=0$ hay $\left( \alpha \right):2x+y-z-9=0$.
$\Rightarrow m=1$, $n=-1$, $p=9$.
Vậy $T=m+n+p=9$.
Đáp án A.